Centroid decomposition

Centroid decomposition (рус. центроидная декомпозиция) - это структура данных, позволяющая отвечать на запросы на дереве. Чаще всего это запросы, связанные с нахождением функции на вершинах, связанных неравенством на расстояние между ними в дереве. Также иногда применяется для запросов на путях в дереве.

Введение

Рассмотрим 2 задачи на обычном массиве (в дальнейшем мы будем их обобщать на случай дерева):

Задача 1

Задача:

Есть массив [math]a[/math] положительных целых чисел из [math]n[/math] элементов и числа [math]W \geqslant 0[/math] и [math]l[/math] . Требуется найти количество пар [math](i, j)[/math] индексов массива, таких что [math]|j - i| \leqslant l [/math] и [math]\sum_{i=0}^{n - 1} a_i \leqslant W[/math].

Задача 2:

Задача:

Есть прямая дорога, на которой расположены [math]n[/math] городов. В некоторых городах есть госпитали, которые могут принимать больных. Поступают запросы вида : дан город [math]v[/math], в котором находится больной и требуется найти такой город [math]u[/math], что [math]abs{u - v}[/math] минимально возможное. дан город [math]v[/math] и сказано, что больше он не будет принимать больных дан город [math]v[/math] и сказано, что теперь он может принимать больных

Для начала решим обе задачи. Первая задача решается методом qevide&conqure (рус. разделяй и властвуй) - давайте разделим массив [math]a[0...n-1][/math] на 2 массива [math]a[0...\frac{n}{2} - 1][/math] и [math]a[\frac{n}{2}...n-1][/math] и рекурсивно решим задачу для каждого из них. Осталось научиться находить количество искомых пар [math](i, j)[/math], таких что [math]i \lt \frac{n}{2}, j \geqslant \frac{n}{2}[/math]. Для этого воспользуемся другой известной техникой - методом двух указателей. Посчитаем массив префиксных сумм для правой половины [math]pref[i] = \sum_{j=n/2}^{i} a_j[/math] и суффиксных ([math]suf[i] = \sum_{j=i}^{n/2 + 1} a_j[/math]) - для левой. Заведем два указателя ([math]p1[/math] и [math]p2[/math]). Изначально установим [math]p1 = \frac{n}{2} - l + 1, p2 = \frac{n}{2}[/math]. Пока [math]p2 - 1\gt \frac{n}{2}[/math] и

[math]pref[p2] + suf[p1] \gt W [/math] будем уменьшать [math]p2[/math] на [math]1[/math]. Если после этого [math]pref[p2] + suf[p1] \leqslant W[/math], то к ответу прибавим [math](p2 - \frac{n}{2} + 1) * (\frac{n}{2} - p1)[/math], посго, увеличим [math]p1[/math] на <math/math>. Так будем делать, пока [math]p1 \lt \frac{n}{2}[/math]. В конце сложим текущий ответ и ответы для половин массива - получим ответ на задачу. Асимптотика такого алгоритма : [math]T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n) = O(n)[/math]

Вторая задача имеет запросы на изменение и поэтому надо применить динамическую версию qevide&conqure - дерево отрезков. Построим дерево отрезков, поддерживающее 2 вида запросов : присвоение в точке и минимум на отрезке. Изначально сделаем так, чтобы дереву отрезков соответствовал массив [math]b[][/math], такой что [math]b[i] = 0[/math], если в i-м городе принимает госпиталь и [math]b[i] = 1[/math] иначе. Когда в каком-то городе открывается/закрывается госпиталь - делаем запрос на изменение в дереве отрезков. Когда требуется узнать ближайщий госпиталь к [math]i[/math]-му городу, можно воспользоваться одной из следующих идей : а) ([math]O(n \cdot log^2(n)[/math]) Бинарным поиском ищем ближайший слева и ближайший справа к i-му городу госпиталь (такой город [math]j[/math], что [math]min(i...j) = 1[/math]). Для этого внутри бинарного поиска каждый раз делаем запрос на поиск минимума в дереве отрезков. б) ([math]O(n \cdot log(n)[/math]) Будем одним спуском/подъемом по дереву определять, куда нам нужно идти (в левое или правое поддерево), тем самым делая одновоременно и бинарный поиск, и спуск/подъем по дереву.

Статическая центроидная декомпозиция

Перейдем к обобщению поставленных задач на случай дерево. Начнем, как и полагается, с первой:

Задача:

Есть взвешенное дерево [math]t[/math] из [math]n[/math] вершин, в каждой вершине которого написаны положительные целые числа. Также по-прежнему даны числа [math]W \gt = 0[/math] и [math]l[/math]. Требуется найти количество пар [math](i, j)[/math] вершин дерева, таких что расстояние между ними не превосходит [math]l[/math] по числу ребер и не превосходит [math]W[/math] по сумме весов.

Для решения новой задачи применим ту же идею, что и была до этого - разделяй и властвуй. Для этого нам потребуется следующий объект :

Определение:

Центроидом дерева (англ. centroid) называется такая вершина [math]v[/math] дерева [math]t[/math], после удаления которой дерево разбивается на несколько ([math]k[/math]) поддеревьев [math]t_1, t_2,..., t_k[/math], таких что для каждого [math]i[/math] : [math]|t_i| \leqslant \frac{n}{2}[/math], т.е. размер каждого поддерева не превосходит половины размера исходного дерева.

Итак, в случае дерева идея разделяй-и-властвуй из предыдущего пункта будет формулироваться так : найдем центроид (доказательство её существования и алгоритм нахождение см. далее). Предположим, что мы сумели найти центроид за [math]O(n)[/math], где [math]n[/math] - размер дерева. Тогда, как и в упрощенной версии задачи - рекурсивно найдем ответ для всех поддеревьев [math]t_1, t_2,..., t_k[/math], после чего попытаемся найти недостающие пары вершин, находящиехя в разных поддеревьях и удовлетворяющих вопросу задачи. Для этого будем отвечать на следующие запросы : пусть мы сейчас считаем все пары, где первая из вершин находится в поддереве [math]t_i[/math] и мы в некоторой структуре данных [math]S[/math] храним все вершины остальных деревьев (каждую вершину задаем парой [math](depth(v), length(v))[/math] - глубина вершины и длина пути до нее из корня поддерева), расстояние до которых от корня их поддерева не превышает [math]min(l, n)[/math]. Тогда просто пройдемся по всем вершинам [math]u[/math] поддерева [math]t_i[/math] и прибавим к ответу число вершин в структуре [math]S[/math], таких, что [math]depth(u) \leqslant l - depth(v)[/math] и [math]length(u) \leqslant l - length(v)[/math]. Это двумерные запросы, на которые можно отвечать за [math]O(log^2(n)[/math] с помощью 2d-дерева отрезков, либо за [math]O(log(n))[/math] с помощью техники поиска точек в d-мерном пространстве. Также читателю предлагается придумать и более эффективные и простые способы решить эту подзадачу.

Оценим итоговую асимптотику : [math]T(n) = k * T(n / k) + O(n \cdot log(n))[/math]. Решая это рекурентное соотношение, получим [math]O(n \cdot log(n))[/math].

Теперь, как и было обещено, докажем лемму о существовании центроида и опишем алгоритм его эффективного поиска.

Лемма о существовании центроида и алгоритм его нахождения.

Лемма:

В любом дереве t существует центроид.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим корень дерева [math](r)[/math]. Положим изначально [math]v = r[/math]. Изначально [math]|subtree(v)| = n[/math]. Среди всех детей [math]v[/math] выберем вершину [math]u[/math] с максимальным размером поддерева. Если [math]v[/math] - не центроид, то положим [math]v = u[/math] и продолжим выбор нового u, иначе - остановимся. Докажем, что мы в какой-то момент остановимся. Пусть в призвольный момент времени [math]v[/math] - не центроид и размер её наддерева меньше [math]\frac{n}{2}[/math], значит максимальное поддерево имеет размер больше чем [math]\frac{n}{2}[/math], т.е. [math]|subtree(u)| \gt \frac{n}{2}[/math], а значит размер "наддерева" вершины [math]u[/math] равен [math]n - |subtree(u)| \lt \frac{n}{2}[/math]. При этом теперь размер любого поддерева, на которое распадется дерево t при удалении вершины [math]u[/math] не превосходит [math]|subtree(u)| - 1[/math], т.к. наддерево имеет размер меньше, чем поддерево [math]u[/math], а любое поддерево вершины [math]u[/math] имеет хотя бы на [math]1[/math] вершину меньше (сама вершина [math]u[/math]). По индукции получаем, что в любой момент времени размер наддерева вершины v меньше [math]\frac{n}{2}[/math], значит мы будем спускаться только вниз по дереву [math]t[/math], и при переходе к вершине [math]u[/math] - сыну [math]v[/math] размер максимального поддерева уменьшится как минимум на [math]1[/math]. Значит не более чем за [math]n[/math] шагов наши действия прекратятся и мы окажемся в центроиде дерева [math]t[/math], ч.т.д. Итак, мы конструктивно доказали существование центроида и привели линейный относительно размера дерева алгоритм его нахождения.

[math]\triangleleft[/math]

Реализация

Поиск центроида в дереве:

 int [math]\mathtt{find_centroid}[/math](int[] children[n], int v, int sz[n])
    max_subtree = -1
    for u : children(v)
         if sz[u] > sz[v] / 2 and sz[u] > sz[max_subtree] // считаем sz[-1] = 0
              max_subtree = u
    if max_subtree == -1
         return v
    else 
         return find_centroid(children, max_subtree, sz)

Динамическая центроидная декомпозиция (дерево центроидной декомпозиции)

Теперь вернемся ко второй задаче введения. Для ее решения мы пользовались динамичекой версией devide&conqure - деревом отрезков. В предыдущем пункте мы определили статический оналог devide&conqure для дерева. Теперь обобщим этот метод для динамических задач.

Определение:

"Деревом центроидов (или центроидной декомпозицией)" дерева [math]t[/math] называют дерево [math]T[/math], построенное на вершинах дерева [math]t[/math] следующим образом : Пусть вершина [math]c[/math] - центроид дерева [math]t[/math]. Объявим его корнем нового дерева [math]T[/math]. Пусть при удалении вершины [math]c[/math] из дерева [math]t[/math] оно распалось на поддеревья [math]t_1, t_2,..., t_k[/math], а центроиды этих поддеревьев - вершины [math]c_1, c_2, ..., c_k[/math] исходного дерева, соответственно. Проведем ребра из вершины [math]c[/math] в дереве [math]T[/math] ребра во все вершины [math]c_1, c_2,..., c_k[/math]. Рекурсивно перейдем к построению для поддеревьев [math]t_1, t_2,..., t_k[/math].

Лемма:

Свойства центроидной декомпозиции : Глубина дерева центроидов не превосходит [math]log(n)[/math]. Каждая вершина [math]v[/math] дерева [math]t[/math] является центроидом одного из поддеревьев дерева [math]T[/math] Каждая вершина дерева [math]t[/math] принадлежит [math]O(log(n))[/math] поддеревьям дерева [math]T[/math] (еще говорят, что вершина принадлежит [math]O(log(n))[/math] центроидам дерева [math]t[/math])

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Действительно, т.к. размер поддерева [math]s[/math] каждой вершины [math]c[/math] дереве [math]T[/math] не превосходит [math]\frac{|subtree(c)|}{2}[/math], то при спуске в каждую следующую вершину на пути к любому листу в дереве [math]T[/math] размер поддерева вершины, в которой мы сейчас находимся, уменьшается как минимум на [math]2[/math]. Значит длина всего пути до листа не превосходит [math]log(n)[/math], ч.т.д. Второе свойство очевидно из построения дерева [math]T[/math], т.к. если вершина принадлежит дереву центроидов [math]T[/math], то она является центроидом, а из построения [math]T[/math] мы знаем, что каждая вершина исходного дерева принадлежит и дереву [math]T[/math]. Третье свойство - прямое следствие первых двух, т.к. вершина принадлежит любому центроиду [math]c[/math] т.и т.т., когда c - отец вершины [math]v[/math] в дереве центроидов. Т.к. вершина [math]v[/math] точно принадлежит дереву [math]T[/math] (свойство 2), то она лежит на каком-то пути в дереве [math]T[/math], причем все ее родители (центроиды) ее содержат. А по свойству 1 длина любого вертикального (и даже простого) пути есть [math]O(log(n))[/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

С помощью описанных свойств дерева [math]T[/math] мы можем решить задачу 2 для дерева :

Задача:

Есть страна, [math]n[/math] городов которой связаны двустронними дорогами, причем так, чтобы получился минимальный связный граф на [math]n-1[/math] ребрах. В каждом городе есть госпиталь, который в каждый момент времени может быть либо открыт, либо закрыт. Дан список из [math]m[/math] событий : Госпиталь в городе [math]v[/math] открылся. Госпиталь в городе [math]v[/math] закрылся. Больной из города [math]v[/math] хочет узнать номер ближайшего города, госпиталь которого открыт.

Решение :

Построим центроидную декомпозицию [math]T[/math] дерева городов [math]t[/math],

См. также

• Дерево отрезков
• Heavy-light декомпозиция
• Метод двоичного подъема