Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается [math]D \xi[/math] в русской литературе и [math]\operatorname{Var}\,(\xi)[/math] в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный [math]\displaystyle \sigma[/math], называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Определение

Пусть [math]\displaystyle \xi[/math] — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

[math]D \xi = E(\xi -E\xi)^2 [/math]

где символ [math]E[/math] обозначает математическое ожидание.

Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

  [math]D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2;[/math]

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D\xi \geqslant 0;[/math]
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]Da = 0.[/math] Верно и обратное: если [math]D\xi=0,[/math] то [math]\xi =E\xi[/math] почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  [math]\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)[/math], где [math]\! \text{Cov}(\xi, \psi)[/math] — их ковариация;

• [math]D (a\xi) = a^2D\xi;[/math]
• [math]D(-\xi) = D\xi;[/math]
• [math]D(\xi+b) = D\xi.[/math]

Источники

• Википедия
• Дискретный анализ, Романовский И. В.