Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Определение

Пусть [math](\Omega,\mathcal{F},{p})[/math] — фиксированное вероятностное пространство. Пусть [math]A,B\in \mathcal{F}[/math] суть два случайных события, причём [math]{p}(B)\gt 0[/math]. Тогда условной вероятностью события [math]A[/math] при условии события [math]B[/math] называется

[math]{p}(A \mid B) = \frac{{p}(A\cap B)}{{p}(B)}[/math].

Замечания

• Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

[math]{p}(A\cap B) = {p}(A \mid B) {p}(B)[/math].

• Если [math]{p}(B) = 0[/math], то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция [math]{Q}:\mathcal{F}\to {R}[/math], заданная формулой

[math]{Q}(A) = {p}(A \mid B ),\; \forall A \in \mathcal{F}[/math],

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Пример

Если [math]A,B[/math] — несовместимые события, то есть [math]A \cap B = \varnothing[/math] и [math]{p}(A)\gt 0,\; {p}(B)\gt 0[/math], то

[math]{p}(A \mid B) = 0[/math]

и

[math]{p}(B \mid A) = 0[/math].

См. также

• Формула полной вероятности
• Математическое ожидание случайной величины
• Формула Байеса

Источники

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность