Представление функции формулой, полные системы функций

Полные системы функций

Определение:

Множество [math]A[/math] функций алгебры логики называется полной системой, если замыкание этого множества совпадает с множеством всех функций.

Определение:

Замыканием [math]\mathrm{TrCl}(R)[/math] отношения [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется пересечение всех транзитивных отношений, содержащих [math]R[/math] как подмножество (иначе, минимальное транзитивное отношение, содержащее [math]R[/math] как подмножество).

Критерий Поста формулирует необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций:
Система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из классов [math]T_0[/math], [math]T_1[/math], [math]S[/math], [math]M[/math], [math]L[/math].
В частности, если функция не входит ни в один из классов Поста, она сама по себе формирует полную систему. В качестве примера можно назвать штрих Шеффера.

Широко известны такие полные системы булевых функций:

• [math]\left\{\land,\lor,\neg\right\}[/math] (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание);
• [math]\left\{\land,\oplus,1\right\}[/math] (конъюнкция, сложение по модулю 2, константа 1).

Первая система используется, например, для представления функций в виде дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм, вторая — для представления в виде полиномов Жегалкина.

Полная система функций называется базисом, если она перестаёт быть полной при исключении из неё любого элемента. Первая из упоминавшихся выше полных систем базисом не является, поскольку согласно законам де Моргана либо дизъюнкцию, либо конъюнкцию можно исключить из системы и восстановить с помощью остальных двух функций. Вторая система является базисом — все три её элемента необходимы для полноты. Максимально возможное число булевых функций в базисе — 4.

Иногда говорят о системе функций, полной в некотором замкнутом классе, и соответственно о базисе этого класса. Например, систему [math]\left\{\oplus,1\right\}[/math] можно назвать базисом класса линейных функций.

Представление функции формулой

Если задана какая-либо полная система функций [math]A[/math], то любую функцию можно выразить, составив формулу, содержащую только функции из множества [math]A[/math]. Например, если [math]A = \left\{\land,\neg\right\}[/math], то функция [math]a \lor b[/math] представляется в виде [math]\neg(\neg a \land \neg b)[/math].