Асимптотика гипергеометрических последовательностей

Определение:

Гипергеометрической называется последовательность, степени многочленов которой больше нуля.

Лемма:

Пусть последовательность [math]a_0,a_1[/math],... положительных чисел такова, что [math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=A\frac{n^k+\alpha_1n^{k-1}+...+\alpha_k}{n^k+\beta_1n^{k-1}+...+\beta_k}[/math] для всех достаточно больших n, причем [math]\alpha_1\ne \beta_1[/math]. Тогда [math]a_n[/math] растет как [math]a_n\sim cA^nn^{\alpha_1-\beta_1}[/math] для некоторой постоянной [math]c\gt 0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел [math]\lim {\frac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}[/math]. Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела [math]\lim_{n \to \infty} \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n[/math]. Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Фундаментальность последовательности означает, что для любого [math]\epsilon\gt 0[/math] существует такой номер N, что для всех n > N и всех положительных m

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, умножив последовательность an на произвольную постоянную d > 0, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа c для которой увеличивается в d раз

Пример. Для чисел Каталана имеем

[math]\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{4n+2}{n+2}=4\frac{n+\frac{1}{2}}{n+2}[/math]

Поэтому [math]c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}[/math] для некоторой постоянной c.

Пример. Найдем асимптотику коэффициентов для функции [math](a-s)^{\alpha}[/math], где [math]\alpha[/math] вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам уже известна, например, при [math]\alpha=−1[/math]. Согласно определению функции [math](1-s)^{\alpha}[/math] имеем

[math](a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\frac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \frac{\alpha}{1!} \frac{s}{a} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\frac{s}{a})^2} - \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\frac{s}{a})^3+...)[/math].

Если a — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда (4.3) имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться предыдущей леммой при [math]a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}[/math]

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n-\alpha}{n+1}[/math]

Поэтому [math]a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}[/math]. Например, коэффициенты функции [math]-(1-4s)^{\frac{1}{2}}[/math] ведут себя как [math]c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}[/math], и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.