Классические теоремы дифференциального исчисления

Эта статья находится в разработке!

Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке

Определение:

Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального минимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0) [/math]. Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального максимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0) [/math].

Сами значения [math] f(x_o) [/math] называются соответственно локальным минимумом и локальным максимумом.

Теорема (Ферма):

Пусть [math] f(x) [/math] существует и дифференцируема в [math] O(x_0) [/math], и [math] x_0 [/math] - точка локального экстремума. Тогда [math] f'(x_0) = 0.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим случай, когда [math] x_0 [/math] - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично. [math] \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}[/math]; рассмотрим [math] \Delta x \approx 0 [/math]. Заметим, что, по определению локального минимума, [math] f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 [/math]. Возможны 2 случая для [math] \Delta x [/math]: 1) [math] \Delta x \lt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 [/math] 2) [math] \Delta x \gt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 [/math] Отсюда, [math] f'(x_0) = 0 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, [math] y(x) = x^3, y'(0) = 0,[/math] но [math] y(0) [/math] - не экстремум.

Определение:

Корень уравнения [math]f'(x) = 0[/math] называется стационарной точкой.

Теорема Ролля о нулях производной

Теорема (Ролль):

Пусть [math] f(x) [/math] непрерывна на [math][a; b][/math], дифференцируема на [math](a, b)[/math] и [math]f(a) = f(b)[/math]. Тогда существует точка [math] c \in (a; b)[/math], такая, что [math] f'(c) = 0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] f(x) [/math] непрерывна на [math][a; b][/math], значит, у нее на этом отрезке существуют минимум и максимум. Пусть [math] x_1 [/math] - точка минимума, [math] x_2 [/math] - точка максимума. Рассмотрим 2 случая: 1) Обе точки граничные, то есть [math] x_1, x_2 [/math] находятся на концах отрезка. Тогда, так как [math] f(a) = f(b) [/math], то [math] f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] [/math]. Значит, [math] f(x) [/math] на [math] [a; b] [/math] - константа, то есть [math]\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0[/math] 2) Хотя бы одна из точек [math] x_1, x_2 [/math] не граничная. Пусть это, например, [math] x_1 [/math]. Тогда по теореме Ферма [math] f'(x_1) = 0[/math].

[math]\triangleleft[/math]