Изменения

<tex>B(t) = \dfrac{F(t) - t - 1}{t^2} - \dfrac{1}{1 - t} = \dfrac{\dfrac{1}{1 - t - t^2} - t - 1}{t^2} - \dfrac{1}{1 - t}= \dfrac{1 - t +t^2 + t^3 - 1 + t + t^2}{(t^2) \cdot (1 - t - t^2)} - \dfrac{1}{1 - t} = \dfrac{2 \cdot t^2 + t^3}{(t^2) \cdot (1 - t - t^2)} - \dfrac{1}{1 - t} = </tex> <tex> = \dfrac{2 + t}{1 - t - t^2} - \dfrac{1}{1 - t} = \dfrac{(2 + t) \cdot (1 - t) - 1 \cdot (1 - t - t^2)}{(1 - t - t^2) \cdot (1 - t)} = \dfrac{2 - 2t + t -t^2 - 1 + t + t^2}{(1 - t - t^2) \cdot (1 - t)} = \dfrac{1}{(1 - t - t^2) \cdot (1 - t)}</tex> Тогда <tex>A(t) = B(t)</tex>, то есть производящие функции последовательностей <tex>f_0, f_0 + f_1, f_0 + f_1 + f_2, \ldots, \sum\limits_{k = 0}^{n} f_k, \ldots</tex> и <tex>f_2 - 1, f_3 - 1, \ldots, f_{n + 2} - 1, \ldots</tex> совпадают, а значит, совпадают и эти последовательности. Поэтому <tex>f_0 + f_1 + f_2 \ldots f_n = f_{n + 2} - 1</tex>