Формула Зыкова

Определение:

Независимым множеством (англ. Independent set) в графе [math]G = (V, E)[/math] называется непустое множество [math]S \subset V: \forall v,u \in S\[/math] ребро [math](v,u) \notin E[/math].

Теорема (Зыкова):

Для хроматического многочлена графа [math]G[/math] верна формула: [math]P(G,x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}[/math], где [math]pt(G,i)[/math] — число способов разбить вершины [math]G[/math] на [math]i[/math] независимых множеств, [math]n = |V|[/math], а [math] x^{\underline i} = x \cdot (x - 1) \cdot \ldots \cdot (x - i + 1)[/math] — нисходящая факториальная степень.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В правильной раскраске вершины, имеющие одинаковый цвет, не смежны, поэтому все такие вершины могут быть объединены в одно независимое множество. Перебрав все возможные разбиения на независимые множества с последующей их всевозможной покраской [math]x[/math] доступными цветами получим искомое число способов раскраски графа [math]G[/math] в [math]x[/math] цветов. Теперь проделаем это более формально. Подсчитаем число раскрасок графа [math]G[/math], в которых используется точно [math]i[/math] цветов, для этого его нужно разбить на [math]i[/math] независимых множеств и вершины в каждом таком классе покрасить в один из [math]i[/math] цветов, отличный от всех других множеств, так как мы не делаем никаких предположений о связи между классами. Рассмотрим случай, где [math]1 \leqslant i \leqslant x[/math]. Чтобы получить такую раскраску зафиксируем какое-нибудь разбиение множества вершин графа [math]G[/math] на [math]i[/math] независимых множеств, затем берем один из классов в разбиении и раскрашиваем его в один из [math]x[/math] цветов, потом берем следующий класс и окрашиваем его вершины в одинаковый цвет любой из [math]x - 1[/math] оставшихся красок и т.д. Всего таких способов разбиения существует [math]pt(G,i)[/math]. Следовательно, перебрав все возможные разбиения на [math]i[/math] независимых множеств, получим, что число интересующих нас раскрасок графа [math]G[/math] равно [math]pt(G,i) \cdot x \cdot (x - 1) \cdot \ldots \cdot (x - i + 1) = pt(G,i) \cdot x^{\underline i}[/math]. Заметим теперь, что при [math]i \gt x[/math] число [math]x[/math]-раскрасок, в которых используется точно [math]i[/math] цветов, равно [math]0[/math] и при этом [math]x^{\underline i}[/math] тоже равно [math]0[/math]. Суммирование по [math]i[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math] даст полное число способов.

[math]\triangleleft[/math]

Примечание: в такой формулировке задача о поиске хроматического многочлена сводится к отысканию количества способов разбить граф на независимые множества, что в свою очередь также не разрешимо за полиномиальное время.

См. также

• Формула Уитни

Источники информации

• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. — Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. С. 140-141. — ISBN 5-93972-076-5