Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Вероятность события [math] A [/math], которое может произойти вместе с одним из событий [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math], равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события [math] A [/math].

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)[/math]

Доказательство

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] образуют полную группу событий, значит событие [math] A [/math] можно представить в виде следующей суммы:

[math] A = A\cap B_{1} + A\cap B_{2} + ... + A\cap B_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} A\cap B_{i} [/math] (Для удобства чтения формулы обозначим операцию объединения [math] \cup [/math] за [math] + [/math])

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] несовместны, значит и события [math] A\cap B_{i} [/math] тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A\cap B_i)[/math] При этом

[math] {p}( A\cap B_i) = {p} (B_i) {p} (A \mid B_i) [/math]

Окончательно получаем:

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)[/math]

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть [math]N[/math] — случайная величина, имеющая распределение

[math]{p}(N=n) = {p}(B_n)[/math].

Тогда

[math]{p}(A) = {E}\left[{p}(A\mid N)\right][/math],

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Формула Байеса

Источники

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_полной_вероятности