8
правок
Изменения
Нет описания правки
|definition =
'''Функционал среднего риска''' {{---}} ожидаемая величина потери при классификации объектов алгоритмом $a$:
:<tex>R(a) = \displaystyle\sum_{y \in Y}\sum_{s \in Y}\lambda_{ys}P_yP(A_s|y)</tex>
}}
Если известны априорные вероятности $P_y$ и функции правдоподобия $p_y(x)$,
то минимум среднего риска $R(a)$ достигается алгоритмом
:<tex>a(x) = \displaystyle\arg\min_{s \in Y}\sum_{y \in Y}\lambda_{ys}P_yp_y(x)</tex>
|proof=
Для произвольного $t \in Y$ запишем функционал среднего риска:
:<tex>R(a)=\displaystyle\sum_{y \in Y}\sum_{s \in Y}\lambda_{ys}P_yP(A_s|y) = \sum_{y \in Y}\lambda_{yt}P_yP(A_t|y) + \sum_{s \in Y\setminus\{t\} }\sum_{y \in Y}\lambda_{ys}P_yP(A_s|y).</tex>
Применив формулу полной вероятности, $P(A_t \mid y) = 1 −\displaystyle\sum_{ s \in Y \setminus \{t\} }P(A_s \mid y)$, получим:
:<tex>R(a) = \displaystyle\sum_{y \in Y}\lambda_{yt}P_y + \sum_{ s \in Y \setminus \{t\} } \sum_{y \in Y} (\lambda_{ys} - \lambda_{yt})P_yP(A_s|y) = </tex>
:<tex>= const(a) + \displaystyle\sum_{ s \in Y \setminus \{t\} }\int_{A_s}\sum_{y \in Y} (\lambda_{ys}−\lambda_{yt})P_yp_y(x)dx. </tex>
Введём для сокращения записи обозначение
Минимум интегрла достигается, когда $A_s$ совпадает с областью неположительности подынтегрального выражения.
:<tex>A_s=\{x \in X \mid g_s(x) \leq g_t(x), \forall t \in Y, t \leq s\}. </tex>
С другой стороны, $A_s=\{x \in X \mid a(x) = s\}$. Значит, $a(x) = s$ тогда и только тогда, когда
:$s= \displaystyle\arg\min_{t \in Y}g_t(x)$.
}}
Следовательно, функции правдоподобия классов представимы в виде:
:<tex>p_y(x) = \displaystyle\prod^n_{i=1}p_{yi}(\xi_i)</tex>
где $p_{yj}(\xi_j)$ плотность распределения значений $j$-го признака для класса $y$.
Подставим эмпирические оценки одномерных плотностей в байесовский классификатор. Получим алгоритм:
:<tex>a(x) = \displaystyle\arg\max_{y \in Y}(\ln\lambda_yP'_y + \sum^n_{j=1}\ln p'_{yj}(\xi_j)). </tex>
Основные его преимущества {{---}} простота реализации и низкие вычислительные затраты при обучении и классификации.
Основной его недостаток {{---}} низкое качество классификации в общем случае.
== Применение ==
Из-за своего низкого качества классификации наивный байесовскими классификатор в основном он используется либо как эталон при экспериментальном сравнении алгоритмов,
либо как элементарный строительный блок в алгоритмических композициях.
Рассмотрим частое применение байесовского классификатора к задаче классификации документов по их содержимому,
а именно к классификации электронных писем на два класса {{---}} спам ($S$) и не-спам ($\displaystyle \neg S$),
предполагая что вероятность слов в тексте не зависит друг от друга:
Программные спам-фильтры, построенные на принципах наивного байесовского классификатора, делают «наивное» предположение о том, что события,
соответствующие наличию того или иного слова в электронном письме или сообщении, являются независимыми по отношению друг к другу.
Это упрощение в общем случае является неверным для естественных языков:
:<tex> P(a\ very\ close\ game) = P(a) \times P(very) \times P(close) \times P(game) </tex>
Исходя из такого предположения, для решения задачи классификации сообщений лишь на 2 класса:
$S$ (спам) и $H = \neg S$ («хэм», то есть не спам) из теоремы Байеса можно вывести следующую формулу оценки вероятности «спамовости» всего сообщения $D$,
содержащего слова $W_1, W_2, ... W_N$:
:<tex>\displaystyle p(S\mid D) = p(S\mid W_1, W_2, ... W_N) = \frac{p(W_1, W_2, ... W_N\mid S) \cdot p(S)}{p(W_1, W_2, ... W_N)} = </tex> [так как $W_i$ предполагаются независимыми] <tex>=</tex>
:<tex>= \displaystyle\frac{\prod_{i} p(W_i\mid S) \cdot p(S)}{p(W_1, W_2, ... W_N)} = \frac{\prod_{i}p(S\mid W_i)}{\prod_i(p(S\mid W_i)) + \left(\frac{p(\neg S)}{p(S)}\right)^{1-N} \cdot \prod_i p(\neg S\mid W_i)} </tex>
Результат $p$ обычно сравнивают с некоторым порогом (например, $0.5$), чтобы решить, является ли сообщение спамом или нет. Если $p$ ниже, чем порог, сообщение рассматривают как вероятный «ham», иначе его рассматривают как вероятный спам.
:<tex>\displaystyle\ln{p(S\mid D)\over p(\neg S\mid D)} > h</tex>.
== Пример кода scikit-learn ==
Классификатор [https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.naive_bayes.GaussianNB.html#sklearn.naive_bayes.GaussianNB GaussianNB] реализует наивный байесовский классификатор в предположении что изначальное распределение было гауссовым:
:<tex>P(x_i \mid y) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_y}}\exp(-\frac{(x_i - \mu_y)^2}{2\sigma^2_y})</tex>
'''from''' sklearn '''import''' datasets
