Теорема Фишера-Линча-Патерсона (FLP) — различия между версиями
Yeputons (обсуждение | вклад) (→Цепочка бивалентных конфигураций) |
Yeputons (обсуждение | вклад) (→Шаг 2: существование соседних разновалентных конфигураций) |
||
| Строка 100: | Строка 100: | ||
==== Шаг 2: существование соседних разновалентных конфигураций ==== | ==== Шаг 2: существование соседних разновалентных конфигураций ==== | ||
| + | |||
| + | Теперь мы хотим найти такие две соседние конфигурации $C_0, C_1 \in C$ (отличающиеся переходом $e'(C_0)=C_1$), что $D_0=e(C_0) \in D$ является 0-валентной, а $D_1=e(C_1)$ — 1-валентной (или наоборот). | ||
| + | Это можно сделать, если взять в $D$ конфигурацию $e(C_1)$, отличающуюся от валентности $e(G)$, а дальше посмотреть на цепочку конфигураций между $G$ и $e(C_1)$ и найти момент смены валентности. | ||
| + | |||
| + | Начнём искать, более строго. Не теряя общности можем сказать, что $e(G)\in D$ является 0-валентной (иначе повторим доказательство шага). | ||
| + | По предыдущему шагу найдём в $D$ 1-валентную конфигурацию $D_1=e(C_1)\in D$. | ||
| + | Конфигурация $C_1$ получена какой-то конечной непустой цепочкой сообщений $x_1, x_2, \dots, x_k$. | ||
| + | Будем по очереди убирать по одному сообщения с конца и смотреть на валентность конфигурации $e(x_{k-1}(\dots(x_1(G))\dots))$ — в какой-то момент она станет нулём (например, при пустой цепочке, т.е. при рассмотрении $e(G)\in D$). | ||
| + | Тогда мы как раз нашли искомую пару соседей $C_0$ и $C_1$ таких, что $e(C_0)$ и $e(C_1)$ разной валентности. | ||
==== Шаг 3: разбор случаев ==== | ==== Шаг 3: разбор случаев ==== | ||
Версия 17:13, 3 июня 2019
Теорема Фишера, Линча и Патерсона (FLP, 1985 год) невозможно достичь даже необоснованного консенсуса $N>2$ процессами даже на одном бите при следующих условиях:
- Алгоритм должен завершиться за конечное время.
- Один из узлов может отказать
- Система асинхронна
- Алгоритм должен быть детерминирован.
Если отказов нет, есть простой алгоритм. Если система синхронна, то есть консенсус в синхронных системах. Если разрешаем недетерминизм, то есть алгоритм Бен-Ора.
Содержание
Доказательство
Из презентации Р. Елизарова.
От противного: пусть есть такой алгоритм, тогда мы проанализируем варианты его исполнения, подстроим порядок доставки сообщений (без откладывания сообщений бесконечно далеко), получим бесконечную цепочку выполнения и противоречие с конечностью алгоритма.
Модель
| Определение: |
Процесс — это детерминированный автомат, который может выполнять три операции:
|
Для доказательства от противного у нас есть такой алгоритм для процессов, что все они вызывают decided(value) с одинаковым значением через конечное время, независимо от того, как система задерживает сообщения.
| Определение: |
| Конфигурация — это состояния всех процессов плюс все сообщения в пути (которые отправили, но ещё не доставили). |
В начальной конфигурация у каждого процесса может быть сколько угодно входных данных и даже своя программа. Начальных конфигураций может быть несколько, они могут отличаться, например, предложениями процессов.
| Определение: |
Шаг из одной конфигурации в другую — это приём какого-то сообщения процессом (событие) и последовавшие за этим внутренние действия процесса до следующего receive(). Эти действия однозначно определяются предыдущей конфигурацией и событием. |
| Определение: |
| Исполнение — это бесконечная цепочка шагов из какой-нибудь начальной конфигурации. Бесконечная, потому что процессы могут выполняться и после принятия решений. |
| Определение: |
| Отказавший процесс — это процесс, который делает только конечное количество шагов в исполнении. Такой в системе может быть максимум один (это более сильное условие, чем если может много процессов отказывать). |
Также гарантируется, что в любом исполнении любое сообщение, предназначенное не отказавшему процессу, обрабатывается через конечное число шагов.
Другими словами, сообщения не теряются.
Валентность
Заметим, что в любом исполнении всегда принимается решение. Даже если один процесс отказал, то все остальные должны прийти к решению за конечное число шагов.
| Определение: |
| Конфигурация называется $i$-валентной и одновалентной, если все цепочки шагов из неё приводят к решению $i$.
Таким образом, бывают 0-валентные и 1-валентные конфигурации. Если же из конфигурации есть цепочки, приводящие к каждому из решений, то такая конфигурация называется бивалентной. |
Наблюдение: пусть из конфигурации $X$ есть цепочка шагов, обрабатывающая сообщения из $X$ в подмножестве процессов $A$, за которой идёт цепочка процессов, обрабатывающая сообщения из $X$ в подмножестве процессов $B$, и в конце мы получили конфигурацию $Y$. Тогда эти цепочки коммутируют: можно сначала обработать сообщения подмножеством процессов $B$, а потом — $A$ (так как мы обрабатываем только сообщения из $X$, а не новые).
Наблюдение: за $i$-валентной конфигурацией могут следовать только $i$-валентные.
Начальная бивалентная конфигурация
Лемма: существует бивалентная начальная конфигурация.
Доказательство от противного: пусть все начальные конфигурации одновалентны. Из нетривиальности консенсуса мы знаем, что есть как 0-, так и 1-валентные начальные конфигурации. Тогда можно найти две начальные конфигурации разной валентности, которые отличаются только состоянием одного процесса: взяли две произвольные начальные конфигурации разной валентности, начали переводить одну в другую копированием исходных состояний процессов, по одному процессу за шаг.
А раз есть две такие конфигурации разной валентности, то пусть в каждой из них этот процесс (где они отличаются) откажет с самого начала, до отправки и приёма любых сообщений. Тогда мы всё ещё получим консенсус, но решение будет одинаковым, потому что внешняя система никак не может выявить состояние отказавшего процесса. А они исходно были разной валентности, противоречие.
Цепочка бивалентных конфигураций
Лемма: для любой бивалентной конфигурации можно найти следующую за ней бивалентную.
Следствие: если лемма верна, то мы можем построить бесконечную цепочку бивалентных конфигураций и тем самым получим противоречие и докажем FLP: есть бесконечная цепочка, в которой не принято решение.
Доказательство: от противного. Пусть все конфигурации после некотороый бивалентной конфигурации $G$ одновалентны. Введём определения:
- $e$ — какое-то событие в $G$, скармливающее сообщение $m$ процессу $p$. Такое есть, иначе у нас в конфигурации ничего не происходит, она бивалентна, а решение должно быть детерминированным, противоречие.
- $C$ — множество конфигураций, достижимых из $G$ без использования $e$. В частности, в $C$ по предположению отсутствуют бивалентные конфигурации.
- $D=e(C)$, то есть все конфигурации, достижимые из $G$, где $e$ — последнее обработанное событие. В частности, в $D$ по предположению отсутствуют бивалентные конфигурации.
Теперь докажем, что $D$ содержит бивалентную конфигурацию. То есть мы выбрали, насколько сильно отложить обработку произвольного события $e$ и показали, что это не порушит бивалентность. Надо ещё аккуратно, чтобы это не порушило конечность обработки каждого сообщения. Например, их можно обрабатывать по очереди, начиная с самых старых. Тогда каждое событие рано или поздно попадёт в наш шаг и будет обработано.
Шаг 1: существование $i$-валентных конфигураций в $D$
Подлемма: для любого $i$ в $D$ существует $i$-валентная конфигурация.
В самом деле: так как $G$ бивалентна, то по какой-то цепочке шагов из неё можно дойти до $i$-валентной конфигурации $E_i$. Дальше разбором случаев находим искомую конфигурацию в $D$:
- Если $E_i \in D$, то мы доказали подлемму.
- Если $E_i \in C$, то $e(E_i) \in D$, у $e(E_i)$ такая же валентность и мы снова доказали подлемму.
- Иначе ребро $e$ применялось в цепочке шагов для достижения $E_i$ из $G$. Найдём конфигурацию $F_i \in D$, которая была в этой цепочке шагов сразу после применения $e$. Так как в $D$ нет бивалентных конфигураций, то $F_i$ является $i$-валентной, что и требовалось.
Шаг 2: существование соседних разновалентных конфигураций
Теперь мы хотим найти такие две соседние конфигурации $C_0, C_1 \in C$ (отличающиеся переходом $e'(C_0)=C_1$), что $D_0=e(C_0) \in D$ является 0-валентной, а $D_1=e(C_1)$ — 1-валентной (или наоборот). Это можно сделать, если взять в $D$ конфигурацию $e(C_1)$, отличающуюся от валентности $e(G)$, а дальше посмотреть на цепочку конфигураций между $G$ и $e(C_1)$ и найти момент смены валентности.
Начнём искать, более строго. Не теряя общности можем сказать, что $e(G)\in D$ является 0-валентной (иначе повторим доказательство шага). По предыдущему шагу найдём в $D$ 1-валентную конфигурацию $D_1=e(C_1)\in D$. Конфигурация $C_1$ получена какой-то конечной непустой цепочкой сообщений $x_1, x_2, \dots, x_k$. Будем по очереди убирать по одному сообщения с конца и смотреть на валентность конфигурации $e(x_{k-1}(\dots(x_1(G))\dots))$ — в какой-то момент она станет нулём (например, при пустой цепочке, т.е. при рассмотрении $e(G)\in D$). Тогда мы как раз нашли искомую пару соседей $C_0$ и $C_1$ таких, что $e(C_0)$ и $e(C_1)$ разной валентности.
