Подсчет деревьев

Описание всех используемых далее комбинаторных объектов можно найти в статье "конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт".

Непомеченные деревья

Бинарные деревья

Утверждение:

Число непомеченных бинарных деревьев: [math]T_n = C_{n}[/math] ([math]n[/math]-ое число Каталана).

[math]\triangleright[/math]

Устройство бинарного дерева в терминах комбинаторных классов выражается следующим образом [math]T = \varepsilon + z\times T\times T[/math]. В терминах производящих функций эта конструкция выглядит следующим образом [math]T(s) = 1 + s{T(s)}^2[/math]. Решением данного уравнения будет [math]T(s) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4s}}{2s}[/math]. Тогда: [math]T_{n} = Pair(T, \; T_{n-1}) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}T_{i}T_{n-i-1}=C_{n}[/math], где [math]C_{n}[/math] — [math]n[/math]-ое число Каталана.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Производящая функция числа непомеченных полных бинарных деревьев: [math]T(s) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4s^2}}{2s}[/math].

[math]\triangleright[/math]

Устройство бинарного дерева в терминах комбинаторных классов выражается следующим образом [math]T = z + z\times T\times T[/math]. В терминах производящих функций эта конструкция выглядит следующим образом [math]T(s) = s + s{T(s)}^2[/math]. Решением данного уравнения будет [math]T(s) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4s^2}}{2s}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Подвешенные непомеченные деревьея с порядком на детях

Пусть [math]T_{n}[/math] — количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами. [math]S=Seq(A)[/math] — множество всех последовательностей из данных деревьев. [math]S_{n}[/math] — количество последовательностей с суммарным количество вершин [math]n[/math]. Чтобы получить дерево из [math]n[/math] вершин, достаточно взять [math]1[/math] вершину, и подвесить к ней последовательность деревьев с суммарным количеством вершин [math]n-1[/math]. Тогда:

[math]T_{n}=S_{n-1}[/math].

[math]S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} T_{i} S_{n-i}=\sum\limits_{i=1}^{n} S_{i-1} S_{n-i}=\sum\limits_{i=0}^{n-1} S_{i} S_{n-i-1}=C_{n}[/math], где [math]C_{n}[/math] — [math]n[/math]-ое число Каталана.

Подвешенные непомеченные деревья без порядка на детях

Пусть [math]T_{n}[/math] — количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами. [math]F=MSet(T)[/math] — множество всех лесов из данных деревьев, так как лес можно интерпретировать как мультимножество из деревьев. [math]F_{n}=f_{n,n}[/math] — количество лесов с суммарным количество вершин [math]n[/math]. [math]f_{n, k}[/math] — количество таких лесов из [math]n[/math] вершин, что деревья в них содержат не более чем [math]k[/math] вершин. Чтобы получить дерево из [math]n[/math] вершин, достаточно взять [math]1[/math] вершину и подвесить к ней лес деревьев с суммарным количеством вершин [math]n-1[/math]. Тогда:

[math]T_{n}=F_{n-1}[/math].

[math]F_{n}=f_{n, n}[/math].

[math]f_{n,k}=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{T_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}[/math].

Количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами образуют последовательность A000081.

Помеченные деревья

Определение:

Помеченное дерево c [math]n[/math] вершинами - c [math]n[/math] вершинами, вершинам которого взаимно однозначно соответствуют числа от 1 до n.

Теорема (Кэли):

Число помеченных деревьев с [math]n[/math] вершинами равно [math]n^{n - 2}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Можно доказать формулу двумя способами. Первый способ. Так как между помеченными деревьями c [math]n[/math] вершинами и последовательностями длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] существует биекция (Код Прюфера), то количество помеченных деревьев совпадает с количеством последовательностей длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n = n^{n - 2}[/math]. Второй способ. С помощью матрицы Кирхгофа для полного графа на [math]n[/math] вершинах. Число помеченных деревьев c [math]n[/math] вершинами, очевидно, равно числу остовов в полном графе [math]K_n[/math], которое есть [math]n^{n-2}[/math] по следствию теоремы Кирхгофа.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Число помеченных корневых деревьев с [math]n[/math] вершинами есть [math]T_n = n^{n - 1}[/math].

[math]\triangleright[/math]

Данное утверждение является следствием теоремы Кэли. Обозначим через [math]T_n[/math] число корневых помеченных деревьев с [math]n[/math] вершинами, т.е. число помеченных деревьев, в которых одна из вершин выделена и названа корнем. Число корневых помеченных деревьев с [math]n[/math] вершинами в [math]n[/math] раз больше числа помеченных деревьев с [math]n[/math] вершинами: в качестве корня можно выбрать любую из [math]n[/math] различных вершин.

[math]\triangleleft[/math]

Подвешенные помеченные деревья с порядком на детях

Утверждение:

Число помеченных корневых деревьев с [math]n[/math] вершинами с порядком на детях есть [math]T_n = n!\cdot C_n[/math].

[math]\triangleright[/math]

Как и в непомеченном случае, структура объекта остается неизменной: [math]T = U\times Seq(T)[/math] Производящая функция будет иметь вид: [math]T(s) = s\dfrac{1}{1 - T(s)} \iff T(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4s}}{2} \iff T(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{C_nn!}{n!}s^n[/math] Таким образом, число помеченных корневых деревьев с [math]n[/math] с порядком на детях вершинами есть [math]T_n = n!\cdot C_n[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Подвешенные помеченные деревья без порядка на детях

Утверждение:

Как и в непомеченном случае, структура объекта остается неизменной: [math]T = U\times Set(T)[/math]. Производящая функция будет иметь вид: [math]T(s) = s\cdot e^{T(s)}[/math]

Заметим, что в данной ситуации не получится простого соответствия, как в случае с деревьями с порядком на детях.
В случае порядка на детях не было нетривиальных автоморфизмов, порядок на детях однозначно задавал, как будут располагаться поддервевья. Если порядка на детях нет, ситуация становится сложнее:

В данном примере в А два представленных дерева — одинаковые, а в B — разные.
Для [math]T(s)[/math] нет однозначно выражаемой формулы. Однако, [math]T_n[/math] можно получить, раскрыв экспоненту до [math]n[/math]-ого члена, а именно [math]e^{T(s)} = \sum\limits_{k = 0}^{n}\dfrac{(T(s))^k}{k!}[/math]
Более подробное объяснение происходящего можно посмотреть в лекции.

См.также

• Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт
• Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа
• Числа Каталана
• Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке