Сингулярное разложение

Сингулярное разложение (англ. Singular Value Decomposition) — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к каноническому виду.

Теорема (Сингулярное разложение):

У любой матрицы [math] A [/math] размера [math] n \times m [/math] существует разложение на матрицы [math] U, \Sigma, V^T [/math]: [math] A_{n \times m} = U_{n \times n} \times \Sigma_{n \times m} \times V^T_{m \times m} [/math]. При этом, матрицы [math]U_{n \times n}[/math] и [math]V_{m \times m}[/math] являются ортогональными, а матрица [math]\Sigma_{n \times m} [/math] — диагональной.

Свойства

Пусть дана матрица [math] F_{n \times m} [/math]. Тогда [math] F [/math] можно представить в следующем виде:

[math] F_{n \times m} = U_{n \times n} \times \Sigma_{n \times m} \times V^T_{m \times m} [/math].

Основные свойства сингулярного разложения:

• [math] n \times n [/math]-матрица [math] U = (v_1, \dots, v_n) [/math] ортогональна, [math] V^T V = I_n [/math],
  столбцы [math] v_j [/math] — собственные векторы матрицы [math] F F^T [/math];
• [math] m \times m [/math]-матрица [math] V = (u_1, \dots, u_m) [/math] ортогональна, [math] U^T U = I_m [/math],
  столбцы [math] u_j [/math] — собственные векторы матриц [math] F^T F [/math];
• [math] n \times m [/math]-матрица [math] \Sigma_{n \times m} [/math] — диагональная, [math] \Sigma_{n \times m} = diag(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n}) [/math],
  [math] \lambda_j \geq 0 [/math] — собственные значения матриц [math] F^T F [/math] и [math] F F^T [/math],
  [math] \sqrt{ \lambda_j } [/math] — сингулярные числа матрицы [math] F [/math].