Участник:Irdkwmnsb

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:[math]N_n = \{1, 2, ..., n\}[/math]

Упорядочим все разбиения на множества [math]N_n[/math] лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество [math] A \subset N_n [/math] лексикографически меньше подмножества [math] B \subset N_n [/math] , если верно одно из следующих условий:

• существует [math]i[/math] такое, что [math]i \in A[/math] , [math]i \notin B[/math], для всех [math]j \lt i: j \in A[/math] если и только если [math]j \in B[/math] , и существует [math]k \gt i[/math] такое что [math]k \in B[/math];
• [math] A \subset B [/math] и [math]i \lt j[/math] для всех [math]i \in A[/math] и [math]j \in B[/math] \ [math] A [/math].

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение [math]N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k[/math] лексикографически меньше разбиения [math]N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l[/math] если существует такое [math]i[/math], что [math]A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i \lt B_i[/math].

Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:

• Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение [math] \{1, 2, 3\} ~ \{4, 5\}[/math] будет выглядеть так:

1	2	3
4	5

• Будем поддерживать массив удалённых элементов — элементы, которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

• Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
  • Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и нужно завершить цикл.
  • Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой-то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассматривать элементы:
    • Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым — мы нашли следующее разбиение, завершаем оба цикла и выполняем алгоритм дальше. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества — в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем выписать удаленные элементы так, чтобы получилось корректное разбиение.
    • Если заменить текущий элемент каким-то из удалённых нельзя, то следует удалить и этот.
• Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

list<list<int>> nextSetPartition(list<list<int>> a):
  used = list<int>
  // a — список, содержащий подмножества
  // used — список, в котором мы храним удаленные элементы
  fl = false
  for i = a.size - 1 downto 0
    if (used.size != 0) and (max(used) > a[i][-1])   // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
      m = минимум из used строго больше a[i][-1]
      a[i].add(m)   //добавляем
      used.remove(m)
      break
    for j = a[i].size - 1 downto 0
      if (used.size != 0) and (j != 0) and (max(used) > a[i][j])   //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
        m = минимум из used строго больше a[i][-1]
        a[i][j] = m   //заменяем
        used.remove(m)
        fl = true
        break
      else
        used.add(a[i][-1])
        a[i].pop()
        if a[i].size == 0
          a.pop()
     if fl 
       break
  //далее выведем все удалённые, которые не выбрали
  sort(used)
  for i = 0 to used.size - 1
     a.add(list<int>(used[i]))   //добавляем лексикографически минимальных хвост
  return a

Пример работы

Рассмотрим следующее разбиение:

1	2	3
4	5

1 Шаг:

1	2	3
4	5
	^		Удалили элемент 5.
			Удалённые элементы

2 Шаг:

1	2	3
4
^			Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
5			Удалённые элементы

3 Шаг:

1	2	3	4
			^	Дополнили первое подмножество элементом 4
5				Удалённые элементы

4 Шаг:

1	2	3	4
5				Дописали лексикографически минимальный хвост
				Удалённые элементы