Список заданий по ДМ 2021 весна

1. Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
2. Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
3. Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
4. Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
5. Петя и Вася бросают по десять честных монет. Какая вероятность, что они выбросят одинаковое количество единиц?
6. Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц. Найдите асимптотическое поведение при $n \to \infty$
7. Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
8. Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются попарно независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
9. Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
10. Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
11. Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
12. Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
13. Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
14. Выразите $P(A|B \cap C)$ через $P(A|B)$, $P(A|C)$, $P(B)$ и $P(C)$, либо обоснуйте, что это невозможно сделать.
15. Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
16. Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
17. Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
18. Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
19. Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
20. Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
21. Найдите математическое ожидание числа подъемов (таких $i$, что $a[i] < a[i + 1]$) в перестановке чисел от 1 до $n$
22. Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
23. Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$? Достаточно доказать для конечных вероятностных пространств.
24. Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
25. Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
26. Рассмотрим игру. Колода из 52 карт, 26 красных и 26 черных, тасуется, так что все порядки следования карт оказываются равновероятными. Затем карты извлекаются по одной и колоды в открытую до того момента, пока игрок не скажет "стоп". После этого открывается еще одна карта, если она красная, то игрок выигрывает. Какая стратегия максимизирует вероятность выигрыша игрока?
27. 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа пустых корзин?
28. 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа корзин, содержащих ровно один шар?
29. Докажите, что минимум $E(X-\alpha)^2$ достигается при $\alpha = EX$.
30. Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
31. Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
32. Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
33. Рассмотрим следующий метод генерации случайной перестановки. Применим алгоритм из задания 31, а затем к получившейся перестановке верный алгоритм из задания 30. Будет ли полученное распределение на перестановках равномерным?
34. Рассмотрим следующий метод генерации случайной перестановки. Применим верный алгоритм из задания 30, а затем к получившейся перестановке алгоритм из задания 31. Будет ли полученное распределение на перестановках равномерным?
35. Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
36. Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
37. Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
38. Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
39. Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
40. Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая отличная от константы случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
41. Улучшить неравенство Чебышева нельзя даже для суммы. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такое семейство одинаково распределенных отличных от константы случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$, что $P(|\sum\xi_i - \sum E\xi_i| \ge c) = nD\xi/c^2$.
42. Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
43. Докажите, что вероятность того, что значения на двух одинаково распределенных нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
44. Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
45. Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/3, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
46. Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/13, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
47. Решите предудыщее задание для любой дроби $0 \le p/q \le 1$.
48. Докажите, что не существует способа для Пети пойти в кино с вероятностью 1/3, используя честную монету, для которой существует конечное $k$, что при любых исходах Петя сделает не более $k$ бросков честной монеты.
49. Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую математическое ожидание числа бросков монеты, равное $2$.
50. Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
51. Дана нечестная монета. Придумайте метод определения, какое значение выпадает с большей вероятностью. Вероятность того, что этот способ ошибся, должна быть не больше $0.01$. Оцените количество бросков, которое потребуется, в зависимости от того, насколько $p$ отличается от $1/2$.
52. Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
53. Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Вася выигрывает, когда результаты последних трех бросков равны 010. С какой вероятностью Петя выиграет?
54. Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?
55. Сколько байт в бите? Можно ли ответить на этот вопрос с точки зрения теории информации? Какое определение нужно дать для байта в этом случае?
56. Найдите в интернете распределение букв в английском тексте. Найдите энтропию этого распределения. Сравните с энтропией в случае, когда все буквы равновероятны.
57. Найдите в интернете распределение букв в русском тексте. Найдите энтропию этого распределения. Сравните с энтропией в случае, когда все буквы равновероятны.
58. Посмотрите комикс: https://xkcd.com/936/ Рассмотрим следующий подход к генерации пароля: выбираются 4 случайных английских слова и записываются через пробел. Найдите энтропию такого пароля.
59. Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
60. Докажите, что для $n$ исходов энтропия максимальна, если они все равновероятны
61. Есть нечестная монета с неизвестной вероятностью $p \in (0, 1)$. Просимулируйте с помощью этой нечестной монеты честную
62. Найдите энтропию для геометрического распределения с $p = 1/2$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $1/2^i$).
63. Найдите энтропию для геометрического распределения с произвольным $p$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $(1-p)p^{i-1}$).
64. Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
65. Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
66. Что можно сказать про $H(A | A)$?
67. Энтропия кода Хемминга. Рассмотрим четырехбитный код Хемминга. По четырем информационным битам $X = (x_3, x_5, x_6, x_7)$ формируется три контрольных бита $y_1, y_2$ и $y_4$. Рассмотрим семерку битов $Y = (y_1, y_2, x_3, y_4, x_5, x_6, x_7)$. Пусть информационные биты выбираются случайно равновероятно. Чему равна энтропия $H(Y)$?
68. Продолжение предыдущей задачи. Отправленное сообщение либо доставляется корректно, либо в нем изменяется ровно один бит. Пусть все восемь перечисленных вариантов равновероятны. Доставляется сообщение $Z$. Чему равна энтропия $H(Z | Y)$?
69. Продолжение предыдущей задачи. Чему равна энтропия $H(Z)$?
70. Зафиксируйте на свой выбор достаточно богатый язык программирования. Колмогоровской сложностью слова $x$ называется величина $K(x)$ - минимальная длина программы на зафиксированном языке программирования, которая на пустом входе выводит $x$. Обозначим длину слова $x$ как $|x|$. Докажите, что $K(x) \le |x| + c$ для некоторой константы $c$.
71. Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(|x_i|)$.
72. Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(\log_2 |x_i|)$.
73. Колмогоровская сложность и энтропия Шеннона. Для слова $x$, в котором $i$-й символ алфавита встречается $f_i$ раз обозначим как $H(x)$ величину, равную энтропии случайного источника с распределением $p_i = f_i/|x|$. Докажите, что $K(x) \le nH(x) + O(\log n)$.
74. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c n H(x)$
75. Симуляция дискретного распределения непрерывным. Рассмотрим источник, который возвращает равномерно распределенное вещественное число от 0 до 1 (для решения этой задачи достаточно формального определения, что для любого отрезка вероятность попадания значения в этот отрезок пропорциональна его длине). Мы хотим просимулировать дискретное равновероятное распределение с $n$ исходами. Как это сделать за $O(1)$? Будем считать, что тип данных double имеет достаточно точности и что операции со значениями типа double выполняются за $O(1)$.
76. Пусть теперь мы хотим просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(\log n)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
77. Схема Уолкера. Требуется просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(1)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
78. Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до выпадения трех нулей подряд. Проверьте свой результат численым моделированием.
79. Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 011. Проверьте свой результат численым моделированием.
80. Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 010. Проверьте свой результат численым моделированием.
81. Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке $p$ ($p$ - целое) и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Точка поглощается в точках 0 и $n$ ($n$ целое, больше $p$). Найдите вероятность поглощения в точке 0. Проверьте свой результат численым моделированием.
82. Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.
83. Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/2$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
84. Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/3$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
85. Для заданной рациональной дроби $p/q$ и целого $n$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/n$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
86. Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание координаты точки после $n$ шагов? Проверьте свой результат численым моделированием.
87. Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание квадрата координаты точки после $n$ шагов? Проверьте свой результат численым моделированием.
88. Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание модуля координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
89. Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3. Проверьте свой результат численым моделированием.
90. Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Предложите алгоритм определения, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$. Проверьте свой результат численым моделированием.
91. В Киндер-сюрпризах бывает $n$ различных игрушек. Вы покупаете по одному Киндер-сюрпризу со случайной игрушкой (может содержать игрушку, уже попадавшуюся ранее), пока не получите каждую из $n$ игрушек. Опишите процесс с помощью цепи Маркова. Посчитайте и оцените асимптотически матожидание количества купленных Киндер-сюрпризов. Проверьте свой результат численым моделированием.
92. Посчитайте и оцените дисперсию для предыдущего задания.
93. Блуждания по булевому кубу. Дана строка из $n$ нулей. За один шаг выбирается равномерно случайное число $i$ от $1$ до $n$ и $i$-й элемент строки заменяется на противоположный (0 на 1, а 1 на 0). Требуется найти математическое ожидание числа шагов до первого момента, когда строка будет полностью состоять из единиц. Разработайте алгоритм, который находит искомое матожидание. Примените свой алгоритм, чтобы найти значения матожидания для $n$ от 1 до 20.
94. Предложите алгоритм решения задач 52-53 для произвольных выигрышных строк Васи и Пети (работающий за полином от суммы длин этих строк).
95. Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптимально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
96. Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).