Обсуждение участника:MetaMockery

Определения

Определение:

Множество — первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.

Определение:

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Если [math]a[/math] — элемент множества [math]A[/math], то записывают [math]a \in A[/math] («[math]a[/math] принадлежит [math]A[/math]»). Если [math]a[/math] не является элементом множества [math]A[/math], то записывают [math]a \notin A[/math] («[math]a[/math] не принадлежит [math]A[/math]»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.

Способы задания множеств

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Перечисление

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.

[math] A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} [/math]

Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

Описание

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

[math] A = \{a: P\} [/math] , где [math]P[/math] — определенное свойство элемента [math]a[/math].

Отношения между множествами

Два множества [math]A[/math] и [math]B[/math] могут вступать друг с другом в различные отношения.

• [math]A[/math] включено в [math]B[/math], если каждый элемент множества [math]A[/math] принадлежит также и множеству [math]B[/math] :

  [math]\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B[/math]

• [math]A[/math] включает [math]B[/math], если [math]B[/math] включено в [math]A[/math]:

  [math]{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}[/math]

• [math]A[/math] равно [math]B[/math], если [math]A[/math] и [math]B[/math] включены друг в друга:

  [math]{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}[/math]

• [math]A[/math] строго включено в [math]B[/math], если [math]A[/math] включено в [math]B[/math], но не равно ему:

  [math]{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}[/math]

• [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются, если у них нет общих элементов:

  [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются [math]{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}[/math]

Операции

1. [math] A \subset B [/math] (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ([math] \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B [/math]));
2. [math] A \cap B [/math] (Пересечение множеств А и В: [math] (x \in A) \wedge (x \in B) [/math]);
3. [math] A \cup B [/math] (Объединение множеств А и В: [math] (x \in A) \vee (x \in B) [/math]);
4. [math] B \backslash A [/math] (Разность множеств: [math] (x \in B) \wedge (x \notin A) [/math];
5. [math] \varnothing [/math] — пустое множество:
   • [math] A \cup \varnothing = A [/math]
   • [math] A \cap \varnothing = \varnothing [/math]
   • [math] \forall A: \varnothing \subseteq A [/math]
6. [math] \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha[/math] — объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
   • [math] \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup [/math] ...
   • [math] \bigcup\limits_{0 \lt x \lt 1} A_x [/math]
   • [math] \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} [/math], и так далее..
7. [math] A \cup B \cup C ... \subseteq U [/math] — «множество всего», «универсальное множество»;
8. [math]\overline{A} = U [/math] \ [math] A [/math] — дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.

Теорема де Моргана

Теорема (де Моргана):

[math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ \overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств). [math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}[/math] Пусть [math]x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )[/math]. Значит, не существует [math]\alpha_1[/math] такого, что [math]x \in A_{\alpha_1}[/math]. Следовательно, [math]x \in \overline{A_\alpha}[/math] для любого [math]\alpha[/math] и [math]x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. В силу выбора [math]x[/math] (любой элемент множества [math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math]) следует искомое включение. [math]\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math] Пусть [math]x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. Тогда для любого [math]\alpha[/math] [math]x \in \overline{A_\alpha}[/math], то есть, [math]x \notin A_\alpha[/math]. Поскольку [math]x[/math] не входит ни в одно объединяемое множество, то [math]x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha[/math], то есть, [math]x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}[/math] Аналогично, в силу выбора [math]x[/math] выполняется искомое включение.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства

[math](A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)[/math] следует равенство

[math](A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)[/math].

Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.