Изменения

# Определим неотрицательные целые числа по формуле $G_0 = \{|\}$, $G_n = \{G_{n-1}|\}$ (далее мы будем вместо $G_n$ писать просто $n$, но в этом задании без отдельного обозначения не обойтись). Докажите, что $G_n+G_m = G_{n+m}$.

# Определите отрицательные целые числа. Докажите, что все законы для целых чисел как для группы по сложению выполнены. Мы вернемся к числам в одной из ближайших лекций, а пока переключаемся на матричные игры.

# Лемма о масштабе Пусть матрица $A$ имеет седловую точку. Рассмотрим матрицу $B$, определенную соотношением $b_{ij} = ka_{ij}+d$. Докажите, что матрица $B$ имеет седловую точку, причем множества координат седловых точек этих матриц совпадают.

# Рассмотрим пример экономической игры с бесконечным множеством стратегий: дуополия Курно. На рынке есть две фирмы, стратегии которых заключаются в производстве $q_1$ и $q_2$ товара, соответственно. Цена за единицу товара равна $p-q_1-q_2$. Себестоимость единицы товара $c$. Соответственно, выигрыши игроков равны $u_1(q_1,q_2)=(p-q_1-q_2-c)q_1$ и $u_2(q_1,q_2)=(p-q_1-q_2-c)q_2$. Найдите равновесие по Нэшу для дуополии Курно.

# Дуополия Бертрана. На рынке есть две фирмы, которые производят различные товары $A$ и $B$, соответственно, а их стратегии заключаются в установлении цены на товары $c_1$ и $c_2$, соответственно. После этого фирмы продают $Q_1 = q-c_1+kc_2$ и $Q_2 = q-c_2+kc_1$ единиц товара, соответственно. Себестоимость единицы товара $c$. Запишите выигрыши игроков в дуополии Бертрана и найдите равновесие по Нэшу.