Дерево Фенвика

Определение:

Дерево Фе́нвика (Binary indexed tree) - структура данных, требующая [math] O(n) [/math] памяти и позволяющая эффективно (за [math] O(log n) [/math]) изменять значение любого элемента в массиве; выполнять некоторую бинарную операцию [math] G [/math] на отрезке [math] [i, j] [/math].

По горизонтали - содержимое массива T,
по вертикали - содержимое массива A

Впервые описано Питером Фенвиком в 1994 году.

Пусть дан массив [math] A [/math] из [math] n [/math] элементов: [math] a_i, i = \overline{0, n} [/math].
Деревом Фенвика будем называть массив [math] T [/math] из [math] n [/math] элементов: [math] T_i = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k, i = \overline{0, n} [/math], где [math] F(i) [/math] - некоторая функция. От выбора функции зависит время работы операций над деревом. Рассмотрим функцию, позволяющую делать обе операции за время [math] O(log(n)) [/math].

[math] F(i) = i - 2^{h(i) + 1}, [/math] где [math] h(i) [/math] - количество единиц в конце бинарной записи числа [math] i [/math]. Эта функция задается простой формулой: [math] F(i) = i \& (i + 1) [/math].

Запрос получения суммы на префиксе

В качестве бинарной операции [math] G [/math] рассмотрим операцию сложения.
Обозначим [math] G_i = sum(i) = \sum\limits_{k = 0}^{i} a_k [/math]. Тогда [math] sum(i, j) = \sum\limits_{k = i}^{j} a_k = G_j - G_{i - 1} [/math].

Утверждение:

Лемма. [math] a_i [/math] входит в сумму для [math] t_k [/math], если [math] \exists j: k = i | \cdots(1 \cdots 1) j [/math] раз.

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства леммы рассмотрим битовую запись следующих чисел: [math] k - 2^{h(k) + 1} \leq i \leq k [/math] [math] k - 2^{h(k) + 1} \rightarrow \cdots (0 \cdots 0) [/math] [math] i \rightarrow \cdots (\cdots) [/math] [math] k \rightarrow \cdots (1 \cdots 1)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Приведем код функции [math] sum(i) [/math] на C++:

int sum(int i)
{
   int result = 0;
   while (i >= 0)
   {
       result += t[i];
       i = f(i) - 1;
   }
   return result;
}

Полезные ссылки:

Peter M. Fenwick: A new data structure for cumulative frequency
Wikipedia: Fenwick tree
e-maxx.ru: Дерево Фенвика