Расширим понятие кольца: введём обратный элемент [math](F, *, +)[/math] — получим поле
- абелево по [math]+[/math]
- [math]F\setminus\{0\}[/math] — абелево по [math]*[/math]
- дистрибутивно
Примеры:
- Поля: [math]\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}_n^*[/math]
- [math]\mathbb{Q}(x)=\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p,q \in \mathbb{Q}[x]\}[/math]
- [math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}\mid a,b \in \mathbb{Q}\}[/math]
Мультипликативная группа поля состоит из ненулевых элементов по умножению.
[math]1 \in F[/math]
[math]n \cdot 1[/math] — обозначение суммы
[math] n \cdot 1 = m \cdot 1 \Rightarrow (n-m) \cdot 1 = 0 [/math]
Все разные [math]\begin{cases}
1 \\
1 + 1 \\
1 + 1 + 1 \\
\vdots
\end{cases} \begin{aligned} \nearrow \exists n : n \cdot 1 = 0 \\
\searrow \nexists n : n \cdot 1 = 0 \end{aligned} [/math]
В первом случае наименьшее такое n называется характеристикой поля и обозначается [math]char\; F[/math].
Во втором случае характеристика поля полагается равной 0.
[math]\mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{R} [/math] имеют характеристику 0
[math]\mathbb{Z}_p[/math] имеет характеристику p
[math]\mathbb{Q}(x)[/math] имеет характеристику 0
[math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] — характеристику 0
Теорема
[math] char\; F[/math] либо 0, либо простое число:
[math]\left [ \begin{aligned} char\; F = 0\\ char\; F \in \mathbb{P} \end{aligned} \right .[/math]
[math]\triangleright[/math] [math](n \cdot m) \cdot 1 = 0[/math]
[math] (n \cdot 1) \cdot (m \cdot 1) = 0 \Rightarrow \left [ \begin{aligned} n \cdot 1 = 0 \\ m \cdot 1 = 0\end{aligned} \right . \Rightarrow[/math] характеристика [math]\ne n \cdot m[/math] — противоречие с минимальностью [math] char\; F \triangleleft[/math]
Подполе - некоторое поле [math] K \subset F [/math], замкнутое относительно сложения и умножения:
- [math]0,1 \in K[/math]
- [math]a,b \in K \Rightarrow a+b \in K [/math]
- [math]a,b \in K \Rightarrow a*b \in K [/math]
- [math]a \in K \Rightarrow -a \in K [/math]
- [math]a \in K \Rightarrow a^{-1} \in K [/math]
[math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/math] - подполе
Поле называется простым, если оно не содержит тривиальных подполей.
[math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)[/math] - подполе [math]\Rightarrow \mathbb{Q}(x)[/math] - не простое поле.
