Функциональный анализ
Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.
Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru
Если вы читаете это, самоуничтожьтесь.
Да, да, функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.
Содержание
- 1 В прошлых сериях
- 2 Билеты
- 2.1 1. Сопряженный оператор и его ограниченность
- 2.2 2. Ортогональные дополнения Е и Е*
- 2.3 3. Ортогональное дополнение R(A)
- 2.4 4. Ортогональное дополнение R(A*)
- 2.5 5. Арифметика компактных операторов
- 2.6 6. О компактности А*, сепарабельность R(A)
- 2.7 7. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве
- 2.8 8. Почти конечномерность компактного оператора
- 2.9 9. О размерности Ker(I-A) компактного А
- 2.10 10. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения
- 2.11 11. О замкнутости R(I-A) компактного А
- 2.12 12. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А
- 2.13 13. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е
- 2.14 14. Альтернатива Фредгольма-Шаудера
- 2.15 15. О спектре компактного оператора
- 2.16 16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора
- 2.17 17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора
- 2.18 18. О числах m- и m+
- 2.19 19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора
- 2.20 20. Теорема Гильберта-Шмидта
- 2.21 21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты
- 2.22 22. Теорема Банаха о сжимающем отображении
- 2.23 23. Дифференциал Фреше
- 2.24 24. Неравенство Лагранжа
- 2.25 25. Локальная теорема о неявном отображении
- 2.26 26. Теорема о локальной обратимости отображения
- 2.27 27. Локальная теорема о простой итерации
- 2.28 28. Локальная теорема о методе Ньютона-Канторовича
- 2.29 29. О проекторах Шаудера
- 2.30 30. Теорема Шаудера о неподвижной точке
В прошлых сериях
- Метрическое пространство есть множество точек с метрикой :
- .
- .
- .
- Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
- Банаховым пространством называется нормированное линейное пространство полное по метрике, порождённой нормой.
- Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке функции (обычно обозначается ). Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
- Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала на Гильбертовом пространстве существует единственный вектор такой, что для любого . При этом норма линейного функционала совпадает с нормой вектора : . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над изоморофно пространству .
- Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал , определённый на подпространстве линейного пространства и удовлетворяющий условию , где — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве ) то может быть продолжен на все пространство с сохранением этого условия.
- Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал , определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.
- Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.
- Ядром линейного отображения называются подмножество , которое отображается в нуль: . Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
- Пусть — оператор, действующий в банаховом пространстве . Число λ называется регулярным для оператора , если оператор , называемый резольвентой оператора , определён на всём и непрерывен. Множество регулярных значений оператора называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.
Билеты
1. Сопряженный оператор и его ограниченность
Будем работать с
, как с банаховым пространством.Def: Пространство всех линейных функционалов на
образует линейное пространство (прошлый семестр). Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .Def: Пусть
— непрерывный линейный оператор действующий из банахова пространства в банахово пространство . И пусть — сопряжённые пространства. Обозначим . Если — фиксировано, то — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что . называется сопряжённым оператором.Th: Пусть задан линейный оператор
. Тогда норма оператора совпадает с нормой .(оператор проектирования ??)
2. Ортогональные дополнения Е и Е*
Def: Пусть
некоторое линейное множество. Тогда его ортогональное дополнение .Th: Имеют место соотношения:
; .(при доказательстве используем теорему Хана-Банаха)
3. Ортогональное дополнение R(A)
(Здесь можно написать красивый текст из конспекта про важность теорем и все такое)
Th: Пусть задан линейный оператор
, где и банаховы. Пусть также множество значений замкнуто в . Тогда .4. Ортогональное дополнение R(A*)
Th: Пусть множество значений оператора
замкнуто: . Тогда верно .
5. Арифметика компактных операторов
Def: Линейный оператор
называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество из в относительно компактное множество в .Примером является оператор Фредгольма:
.Установим несколько свойств:
Th: Пусть операторы
такие, что компактен, а ограничен. Тогда операторы и компактны.6. О компактности А*, сепарабельность R(A)
7. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве
Def: Система векторов
топологического векторного пространства называется базисом Шаудера, если каждый элемент разлагается в единственный, сходящийся к ряд по : , где — числа, называемые коэффициентами разложения вектора по базису .8. Почти конечномерность компактного оператора
Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера.
9. О размерности Ker(I-A) компактного А
Утв. Пусть
- компактный оператор, . Тогда,Следствие Множество решений операторного уравнения
конечномерно.10. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения
Утв. Пусть
и . Тогда, - замкнуто.11. О замкнутости R(I-A) компактного А
Утв. Пусть оператор
- компактный. Тогда, - замкнуто.12. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А
Утв. Пусть оператор
- компактный, и . Тогда,13. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е
Утв. Пусть
- компактный оператор. Тогда,14. Альтернатива Фредгольма-Шаудера
Th. (Альтернатива Фредгольма-Шаудера)
Пусть
- компактный оператор, -пространство.Тогда,
возможны только 2 случая:- (уравнение разрешимо относительно
15. О спектре компактного оператора
Теперь это называется Теорией Гильберта-Шмидта
16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора
Утв. Пусть
- ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора
Th. Пусть
- ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,- , т.ч.
18. О числах m- и m+
Def.
Def.
Def. Если для некоторого оператора
, то называется неотрицательным.Th. Пусть
- ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, , и19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора
Th. Пусть
- ограниченный, самосопряженный оператор. Тогда,20. Теорема Гильберта-Шмидта
21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты
Элементы нелинейного функционального анализа.
22. Теорема Банаха о сжимающем отображении
Def: Пусть на метрическом пространстве
определён оператор . Он называется сжимающим на , если такой, что для выполняется .Th (Банах): У сжимающего отображения существует единственная неподвижная точка
.23. Дифференциал Фреше
24. Неравенство Лагранжа
25. Локальная теорема о неявном отображении
Th.(о неявном отображении)
Пусть
- замкнутый шар в .Пусть
- замкнутый шар в и задан оператор и .Пусть
.Пусть
- дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных и .Пусть также
- непрерывно обратим.Тогда, задача о неявном отображении для
c начальным решением разрешима в некоторой окрестности точки