Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта

Постановка задачи

Дана цепочка [math]S[/math] и образец [math]T[/math]. Требуется найти все позиции, начиная с которых [math]T[/math] входит в [math]S[/math].

Алгоритм решения

Построим строку [math]P = T\#S[/math], где [math]\#[/math] — любой символ, не входящий в алфавит [math]S[/math] и [math]T[/math]. Посчитаем на ней префикс-функцию [math]\pi()[/math]. Благодаря разделительному символу [math]\#[/math], выполняется [math]\forall i: \pi(i) \le |T|[/math]. Заметим, что по определению префикс-функции при [math]i \gt |T|[/math] и [math]\pi(i) = |T|[/math] подстроки длины [math]T[/math], начинающиеся с позиций [math]0[/math] и [math]i - |T| + 1[/math], совпадают. Соберем все такие позиции [math]i - |T| + 1[/math] строки [math]P[/math], вычтем из каждой позиции [math]|T| - 1[/math], это и будет ответ.

Псевдокод

Пусть [math]t = |T|[/math], [math]s = |S|[/math].

 <вычисление префикс-функции для цепочки P>
 count = 0
 for (i = 0 .. (s - 1)) {
   if ([math]\pi[/math](t + i + 1) == t) {
     answer[count] = i + 1 - t
     count = count + 1
   }
 }

Время работы

[math]O(s + t)[/math] (время подсчета [math]\pi()[/math] для [math]P) + O(s)[/math] (последующий [math]for[/math]) [math]= O(s + t)[/math].

Оценка по памяти

Предложенная реализация имеет оценку по памяти [math]O(S+T)[/math]. Оценки [math]O(S)[/math] можно добиться за счет незапоминания значений [math]\pi()[/math] для позиций в [math]P[/math], меньших [math]t + 1[/math] (до начала цепочки [math]S[/math]).

Источники

Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн — Алгоритмы: построение и анализ / пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — с.1036. — ISBN 978-5-8459-0857-5. Knuth–Morris–Pratt algorithm