Функции ограниченной вариации

<wikitex> Рассмотрим $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ и ее разбиение $\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$

Определение:

Вариацией функции $f$ по разбиению $\tau$ называется $\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}

Утверждение:

Пусть $f$ монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариации.

[math]\triangleright[/math]

По определению неубывания, $

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.

[math]\triangleright[/math]

$f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$ TODO: НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.

[math]\triangleright[/math]

Возьмем $f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0$ TODO: ЭМ, ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (аддитивность вариации):

Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) Рассмотрим разбиения $\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c$. $ \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c $. По определению полной вариации, $\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)$ $ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) $ Устремляя $\varepsilon$ к 0, получаем $ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)$. 2) Для любого $\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)$. Однако в это разбиение может не войти точка $b$ в это разбиение, поэтому получим из него разбиение $\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c$. Пусть $\tau_1$ — разбиение $a=x_0 < \dots x_p=b$, а $\tau_2$ — разбиение $x_p = b \dots x_{p+m} = c$. Тогда: $\bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Устремляя $\varepsilon$ к 0, получим $ \bigvee\limits_a^c (f) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Если $f$ — функция ограниченной вариации ($f \in \bigvee(a, b)$), то ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($f = f_1 - f_2$).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем в качестве $f_1$ функцию $f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)$, тогда по аддитивности она будет не убывать. Определим как $f_2$ функцию $f_2(x) = f_1(x) - f(x)$. Докажем, что она монотонно не убывает. $a < x_1 < x_2 < b$. Надо доказать, что $f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)$, или что $f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$ (используем утверждение 1).

[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>