Гильбертовы пространства
<wikitex>
| Определение: |
Скалярным произведением в действительном линейном пространстве $X$ называется функция $\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}$, удовлетворяющяя следующим аксиомам:
|
Пример:
- $X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$
- $X = \ell_2$, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$). $\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны тут.
В УП выполняется неравенство Шварца : $|\langle x, y\rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$
УП — частный случай нормированных пространств: можно ввести норму как $\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.
Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется равенство параллелограмма: $\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2$.
| Определение: |
| Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением. |
Пусть $M$ — выпуклое замкнутое множество в $H$, тогда $\forall x \in H \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|$. $z$ называется элементом наилучшего приближени (док-во в прошлом семестре).
| Определение: |
| Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда ортогональным дополнением называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}$. |
TODO: что-то неразборчивое про прямую сумму
| Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре): |
Пусть $X$ — НП, а $Y$ - собственное подпространство $X$, тогда $\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \ |
| Доказательство: |
|
Если $Y$ — строго подмножество $X$, то существует $x_0 \notin Y$. $d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \ |
| Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве): |
Если $X$ - бесконечномерное НП, то единичный шар $S_1 = \{ x \in X \mid \ |
| Доказательство: |
| Возьмем $x \in S_1$, $Y_1 = \mathcal{L}(x_1)$ — собственное подпространство $X$ (TODO: Што?? почему собственное?), применим лемму Рисса, возьмем $\varepsilon = {1 \over 2}$, существует $x_2: \ |
В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: $e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$.
Рассмотрим для точки $x \in H$ абстрактный ряд Фурье $\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i$, $\langle x, e_i\rangle$ называют абстрактными коэффициентами Фурье.
$T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n$
Теорема: $\forall x \in H: \rho(x, H_n) = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| $. TODO: найти доказательство, где-то было оно
| Теорема (Бессель, неравенство Бесселя): |
$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \ |
| Доказательство: |
|
Для некоторого набора коэффициентов $ \beta_k $ рассмотрим скалярное произведение: $ 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \ |
Интересно рассмотреть, когда для всех $x$ неравенство превращается в равенство.
| Теорема (TODO равенство Парсеваля вроде?): |
В неравенстве Бесселя для любого $x$ будет равенство тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая. TODO: пшшш, что-то неразборчивое |
| Доказательство: |
| ??? |
| Теорема (Рисс-Фишер): |
Пусть $\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}$ - ортонормированная система в гильбертовом пространстве $H$, $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty<$. Тогда $\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle$ и выполняется равенство Парсеваля: $\sum \alpha_i^2(x) = \ |
| Доказательство: |
| ??? |
TODO: далее идет что-то бредовое
Вопрос: какое топологическое свойство характеризует существование базиса: замкнутость ОНС? Достаточно требовать, чтобы $H$ было сепарабельным: $\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H$ — счетное всюду плотное.
$\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H$, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала. ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.
Ссылочки:
</wikitex>
