Участник:Yulya3102/Матан3сем

Содержание

1 Основные вопросы
2 Определения и факты

Основные вопросы

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд , где (— метрическое пространство). Пусть есть ряд — сходящийся, такой, что . Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд , где ( — метрическое пространство), равномерно сходится на . Пусть есть точка , такая, что все непрерывны в . Тогда непрерывна в точке .

Доказательство:

1) — непрерывна в [math] (\cdot) x_0 [/math]

2)

из 1) и 2) непрерывна в

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть ( — множество непрерывных функций), равномерно сходится на , .

Тогда[math] * [/math]

[math] * [/math] 1) [math] S(x) [/math] — непрерывно [math] \rightarrow [/math] интеграл имеет смысл.

2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.

Доказательство:

Сделаем предельный переход по [math]N[/math]

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема:

Пусть ( — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) поточечно сходится на [math] [a; b] [/math]

2) равномерно сходится при [math] x \in [a, b] [/math]

Тогда и .

Доказательство:

Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).

[math] f_n \to f [/math] — поточечно на при

Тогда [math] f [/math] — дифф. на .

Тогда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть , .

1)

2) [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на

Тогда

1) [math] \sum a_n [/math] — сходится

2)

Доказательство:

1) — имеет предел

Критерий Больцано-Коши [math] \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} [/math]

Берём [math] \forall \epsilon \gt 0 [/math] из р. сх-ти

При данном

Выберем [math] x [/math] так близко к [math] x_0 [/math], чтобы

— непр. равномерно в [math] (\cdot) x_0 [/math]

[math] \sum \hat{u}_n(x) [/math] — р. сх. на [math] \langle a, b \rangle [/math]

Утв. 2 следует из т. 1. Стокса-Зайдля для рядов

Теорема о перестановке пределов

()

Теорема:

Пусть , [или даже — предельная точка ]

1) [math] f_n(x) [/math] сходится равномерно к [math] S(x) [/math] при

2)

Тогда

1)

2)

Доказательство:

Тогда:

Условие 1: [math] \sum u_n [/math] р. сх. к сумме [math] S(x) [/math]

[math] u_n = f_n - f_{n - 1} [/math]

Условие 2: (при [math] n = 1[/math] проявить сообразительность)

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) [math] \sum a_k [/math] — сх., т.е.

2)

Замечание: верна теорема [math] f(x, y) [/math]

при условии 1: — и этот предел равномерный

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд ,

1) частичные суммы ряда [math]a_n(x)[/math] равномерно ограничены, т.е.

2) [math] b_n(x) [/math] монотонна по [math] n [/math] и равномерно сходится к [math] 0 [/math]

Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Применяя преобразование Абеля

В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда [math]\sum a_k(x)[/math] при некотором [math]M[/math]

Тогда, используя монотонность [math]b_k(x)[/math] (по [math]k[/math]), имеем

Из этого неравенства в силу [math]b_k \rightrightarrows 0[/math] получаем, что

Применяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на .

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть сходится. Рассмотрим функцию . Тогда .

Доказательство:

[math] \sum a_n b_n [/math] — по признаку Абеля равномерно сх-ся [math][0, 1][/math]

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема:

Пусть — произвольный степенной ряд — комплексная переменная или

Возможны три случая:

1) [math] \forall z \in \mathbb{C} [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится

2) [math] (A) [/math] сходится только при [math] z = z_0 [/math]

3) [math] \exists R [/math] [math] 0 \lt R \lt + \infty [/math] при

[math] |z - z_0| \lt R [/math] сходится

[math] |z - z_0| \gt R [/math] расходится

— радиус сходимости

Доказательство:

Нужно доказать абсолютную сходимость

Признак Коши:

1) [math] \overline{lim} = 0 [/math] при всех [math] z [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится абсолютно

2) при , т.е. ряд сходится

при расходится (слагаемые [math] \nrightarrow 0 [/math])

3) — конечен [math] = \frac{1}{R} [/math]

[math] |z - z_0| \lt R [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится абсолютно

расходится (слагаемые )

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Теорема:

Пусть ряд — радиус сходимости. Тогда:

1) Для [math] r : 0 \lt r \lt R [/math] ряд [math] (A) [/math] равномерно сходится в круге [math] \overline{B(z_0, r)} [/math]

2) В круге сумма ряда — непрерывна.

Доказательство:

(1) Признак Вейерштрасса

[math] \sum |a_n| \cdot r^n [/math] — сходится! т.к. [math] \sum a_n \cdot r^n [/math] — абс. сх.

(2) фиксируем [math] z \in B(z_0, R) [/math]; Возьмём

В ряд р. сх. и слагаемые непр. сумма непрерывна.

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Лемма:

Пусть — комплексно дифференцируема в точке . Тогда, если , отображение дифференцируемо в и выполнены соотношения:

(уравнения Коши-Римана)

Доказательство:

Википедия [1]

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Теорема:

Ряд

Тогда: 1) радиус сх-ти [math] (A') = R [/math]. 2) при

[Тогда — дифф. при и ]

Доказательство:

Проверим р. сх. ;

Тогда:

[math] \sum h|a_n|r^{n - 1} [/math] — сх. [math]\Rightarrow[/math] по признаку Вейерштрасса р. сх. при [math] |h| \lt r - |z - z_0| [/math]

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

1.1) [math] \mathrm{exp}(0) = 1 [/math]

1.2)

1.3)

1.4)

Теорема:

Доказательство:

Следствие: [math] \mathrm{exp}(z) \ne 0 [/math] — ни при каких [math] z [/math]

2.1)

2.2)

2.3)

2.4)

2.5) Пусть [math] T(x) = \mathrm{exp}(ix) [/math]

[math] T(x+y) = T(x)T(y) [/math]

2.6)

2.7)

[math] \sum a_k \to [/math] Абель

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

Покажем, что значение производного оператора [math]A[/math] на каждом векторе [math]h\in\mathbb{R}^n[/math] определяется однозначно. По линейности оператора [math]A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m[/math]. Зафиксируем [math]h\ne\mathbb{O}_n[/math]. Возьмём достаточно малое по модулю (достаточно взять , где [math]B(x, r)\subset D[/math]) и подставим [math]th[/math] вместо [math]h[/math] в равенство из определения. По линейности [math]A[/math] имеем:

.

Перенеся [math]f(x)[/math] в левую часть и разделив на [math]t[/math], получим:

,

то есть

.

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения в точке равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций в точке .

Доказательство:

Пусть [math]f[/math] дифференцируемо в точке [math]x[/math]. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно:

.

Координатные функции [math]A_i[/math] линейного оператора [math]A[/math] являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения [math]\alpha[/math] равносильно такому же свойству его координатных функций [math]\alpha_i[/math]. Поэтому для [math]f_i[/math] выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть дифференцируемы в точке . Тогда для каждого существует линейная функция и функция , непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для выполняется равенство из определения производного оператора, где — оператор с координатными функциями .

Необходимое условие дифференцируемости.

Теорема:

Пусть — дифференцируемо в точке

Тогда и матрица Якоби

Замечание: Для — дифференцируемо в точке ;

Доказательство:

— это св-во дифф-ти [math] \varphi_k [/math] в [math] \cdot (a) [/math] из опр. частн. производных.

Достаточное условие дифференцируемости

Теорема:

Пусть , в шаре существуют все и все производные непрерывны в точке . Тогда дифференцируема в точке

Доказательство:

[math] m = 2 [/math]

// [math] =^* [/math] — По теореме Лагранжа

// // [math] t [/math] — средняя точка

где: по модулю; при

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Лемма:

Пусть — линейный оператор. Тогда , где ( — элементы его матрицы)

Доказательство:

[math] ||x|| = 0 [/math], т.е. если [math] x = 0 [/math], то тривиально

(КБШ)

[math] x^{(k)} \rightarrow x [/math]

Дифференцирование композиции

Теорема:

[math] F [/math] — дифф. в [math] (\cdot) a, G [/math] — дифф. в [math] (\cdot) b [/math];

Тогда: — дифф. в

Доказательство:

1.

2. [math] \beta(k)||k|| [/math]

Дифференцирование «произведений»

Лемма:

Пусть , , ; — дифференцируемые в . тогда:

1)

2)

(здесь — скалярное произведение и )

Доказательство:

1. Введём координатную ф-ю [math] F = (f_1 \ldots f_l) [/math]

— [math]i[/math]-ая коорд. док. ф-лы; [math] ]f_i \leftrightarrow f [/math]

— ограничена.

2. лин. дифф.

Замечание:

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Теорема:

— непр. на и дифф. на Тогда:

Доказательство:

// Если ехать быстро и криво

при [math] \forall t [/math]

// — длина дуги; — длина хорды

Экстремальное свойство градиента

Теорема:

— дифф. в

— направление

Тогда [math] l [/math] указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а [math] -l [/math] самого быстрого убывания.

Более того: напр. равенство достижимо для

Доказательство:

// [math] u = 1 [/math]

//

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Теорема:

— опр. в окр. [math] (\cdot) a [/math], дифф. в окр. [math] (\cdot) a [/math]

и — непр. в [math] (\cdot) a [/math]

Тогда эти две частные производные равны.

Доказательство:

— задано при

фикс.

[math] \bar h, \bar k [/math] — средние точки

Замечание 1:

Аналогично:

— опр. в окр. — непр. в [math] (\cdot) a [/math]

Замечание 2:

Если [math] f [/math] сущ. част. пр. [math]k[/math]-того порядка в окр. [math](\cdot)a[/math] и все они непр. в [math](\cdot)a[/math]

Для [math] \forall i_1 \ldots i_k [/math] — индексы [math] \in \{ 1 \ldots m \} [/math]

и [math] \forall j_1 \ldots \j_k [/math] — которые получаются из набора [math] i_1 \ldots i_k [/math] перестановка

Верно:

Полиномиальная формула

Лемма:

Если , — мультииндекс, - вектор, то

Доказательство:

Индукция по [math]r[/math]

[math] r = 1 [/math]

[math] r = r + 1 [/math]

<ещё [math] m - k [/math] суммы> = ;

[math] \beta_1 \ge 1 .. [/math] — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с [math] \beta_1 = 0 [/math] имеют нулевой индекс

Замечание 1

Замечание 2

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Лемма:

Пусть , открыто в , , так, что . Также . Пусть . Тогда верно .

Доказательство:

Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Лагранж:

Теорема:

Пусть , открыто в , . Тогда существует такое , что .

Доказательство:

[math]f(a+h) = \phi(1)[/math]

Разложили по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

Также можно обозначить точки через [math] x [/math] и [math] x + h [/math], тогда формула запишется в виде .

Пеано:

Теорема:

Пусть , открыто в , . Тогда .

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема:

— норма в пр-ве , то есть

Доказательство:

[math](1)[/math]

1. очевидно // для [math] x \in B(0, 1) [/math]

2. очевидно, св-ва [math] sup [/math]. Википедия[2]

3. \\ [math] ||A|| + ||B|| = C [/math]

[math](2)[/math]

\\

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема:

откр. дифф.

Тогда:

Доказательство:

//

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема:

Пусть ( — множество обратимых линейных операторов в ), . Тогда:

1) ;

2) ;

3) .

Доказательство:

Лемма: пусть

Тогда [math]B[/math] — обратим, [math]||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}[/math]

Это правда, потому что , значит, [math]B[/math] — биекция(пусть )

Неравенство получается из [math]|Bx| \ge c|x|[/math] заменой [math]Bx=y, x = B^{-1}y[/math]

Само доказательство:

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме [math]B[/math] обратим, по этой же лемме выполнено 2).

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Теорема:

Пусть , где открыто, дифференцируемо на . Тогда эквивалентны утверждения:

[math] I) F \in C^{1}(E) [/math]

— непрерывна.

Доказательство:

[math] I \Rightarrow II [/math]

? [math] F' [/math] непр. в [math] (\cdot) \overline{X} [/math]

[math] \forall \epsilon \gt 0 [/math] выберем ; при

[math] II \Rightarrow I [/math]

[math] F' [/math] — непрерывна. [math] e_1 \ldots e_m [/math] — нормированный базис [math]\mathbb{R}^m[/math]

Точно также:

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Необходимое условие экстремума:

Теорема:

Пусть открыто — точка лок. экстремума. — дифф. на . Тогда (т.е. )

Доказательство:

Меняем на , по теореме Ферма из первого семестра . Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.

Теорема Ролля:

Теорема:

Пусть компакт , дифференцируемо на , на (граница ), — непр. на . Тогда существует .

Доказательство:

Если [math]f[/math] постоянна на [math]K[/math], то утверждение очевидно.

Если нет, то по теореме Вейерштрасса на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.

Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах

Утверждение:

1) Если квадратичная форма положительно определена, то существует такое , что для всех
2) Пусть — норма. Тогда .

1)

(Сфера [math] \{ x : |x| = 1 \} [/math] — компакт по теореме Вейерштрасса [math] \exists min [/math])

[math] x = 0 : \text{ok} [/math]

[math] h(tx) = t^2 h(x) [/math]

2) — по т. Вейерштрасса (т.к. [math]p(x)[/math] — непр.)

[math] x = 0 : \text{triv} [/math]

Достаточное условие экстремума

Теорема:

Пусть открыто в , дифф. на — стационарная точка (то есть ). — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если [math] Q(h) [/math] положительно определённая, то [math] a [/math] — точка минимума (локального).

2) Если [math] Q(h) [/math] отрицательно определённая, то [math] a [/math] — точка максимума (локального).

3) Если [math] Q(h) [/math] не знакоопределённая, то [math] a [/math] — не точка экстремума.

4) Если положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование

Доказательство:

// [math] |h_i| \lt |h| [/math]

Выберем [math] U(a) [/math] так, чтобы при [math] a + h \in U(a) [/math]

Таким образом [math]a[/math] точка локального минимума

[math](3) : Q(h) [/math] — не знакоопределён.

— при эта сумма из '?' б.м по модулю при малых

Лемма о почти локальной инъективности

Лемма:

Пусть — диффеоморфизм, . Тогда

Доказательство:

1) [math] F [/math] — линейное. [math] \exists (F'(x_0))^{-1} [/math]

2)

// при

Теорема о сохранении области

Теорема:

Пусть , где открыто — диффеоморфизм в , . Тогда открыто.

Замечание

1. Если [math] O [/math] — лин. связное и [math] F [/math] — непр. [math] \Rightarrow F(O) [/math] — лин. связное

2. Непрерывность — откр. [в ]

Доказательство:

[math] x_0 \in O; y_0 = F(x_0) [/math] — внутрення точка [math] F(O) [/math]?

при

Возьмем (S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: [math] B(y_0, r) \subset F(O) [/math]

Т.е.:

[math] x \in B(x_0, \delta[/math]

[math] min \varphi [/math] — внутри [math] B(x_0, \delta) [/math]

В точке .

На сфере [math] S(x_0, \delta) [/math]:

[math] \varphi [/math] — имеет [math] (\cdot) min [/math] внутри шара [math] B(x_0, \delta) [/math] по теореме Вейерштрасса

в точке минимума (у системы есть только тривиальное решение)

Теорема о диффеоморфизме

Теорема:

Пусть , — обратима и её производная невырождена, .

Тогда:

1) [math] F^{-1} \in C^r [/math]

2)

Доказательство:

1) [math] r = 1 [/math]

[math]F(O) = O' [/math] — открытое

Пусть [math] S = F^{-1}, S : O' \to O[/math]

Пусть [math] U \subset O[/math] — открытое, тогда [math] S^{-1}(U) [/math] — открытое.

[math] T : X \to Y[/math] — непрерывное отображение — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

[math] T [/math] — диффеоморфизм, матрица [math]T'(x_0)[/math] невырождена [math]\Rightarrow[/math] // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём [math] c, \delta [/math] из леммы.

Пусть [math] T = F'(x_0) [/math]

Можно считать, что [math] y [/math] близко к [math] y_0 [/math], так что

2) — любое. (без доказательства)

Теорема о локальной обратимости

Теорема:

Пусть , где открыто; Тогда — диффеоморфизм ( или — сужение отображения на множество ).

Доказательство:

Нужно проверить лишь: [math] \exists U(x_0) : F|_U [/math] — обратима

[так как можно считать что [math] \det F'(x) \ne 0 [/math] на открыто и [math] F^{-1} [/math] определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

// Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что , тогда отображение будет биекцией.

Замечание

[math] \det F' \ne 0 [/math] — нужно для дифференцируемости.

— не дифференцируемо в нуле

Теорема о неявном отображении

Теорема:

Пусть , где открыто, . Пусть известно, что невырождено (). Тогда:

1) существуют открытые , и существует единственное , что

Раньше тут был забыт минус!

2)

Доказательство:

Пусть [math]\Phi(x, y) = (x, F(x,y))[/math].

[math]\Phi(a, b) = (a, 0)[/math]

.

По теореме о локальной обратимости [math]\exists{U(a,b)}[/math] — такая, что [math]\Phi[/math] — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение [math]\Psi(u, v) = (u, H(u, v))[/math].

Почти очевидно, что [math]\varphi(x) = H(x, 0)[/math].

Берем производную — получаем 2):

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Теорема:

Пусть (гладкое многообразие), .

Эквивалентные утверждения:

1) — простое [math] k [/math]-мерное многообразие

2) [math] \exists \tilde{U}(p) [/math] и существуют функции класса [math] C^r [/math], для которых выполняются условия:

2.1)

2.2) — линейно независимые

Доказательство:

[math] 1 \Rightarrow 2 [/math]

— параметризация — матрица [math] m \times k [/math]

[math] Rg \Phi'(t_0) = k [/math] — реализуется на первых [math] k [/math] степенях

[math] 2 \Rightarrow 1 [/math]

Очевидно: [math] (L \circ \Phi)'(p) [/math] — невырожденно.

— диффеоморфизм на [math] W(t_0) [/math]

взаимно однозначное отображение [math] \Phi(W) [/math] на [math] V [/math]

[math] \Phi(W) [/math] — открыто в [math] M \Rightarrow \Phi(W) [/math] — реал. как [math] G \cap M, \ G [/math] — откр. в [math] \mathbb{R}^m [/math]

Необходимое условие относительного локального экстремума

Теорема:

Пусть , где открыто, . Пусть имеет в точке локальный относительный экстремум. Тогда , что

Доказательство:

Пусть ранг реализуется на столбцах . Переобозначим .

По теореме о неявном отображении:

[math] x \mapsto (x, \Psi(x)) [/math] — гл. параметризация

[math] g(x) = f(x, \Psi(x)) [/math]; Точка [math] a_x [/math] — лок. экстремум [math] g' [/math].

— необходимое усл. экстремума в матр. форме.

При таком [math] \lambda : [/math]

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Теорема:

Пусть . Тогда — собственное число .

Доказательство:

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

1) Линейность по векторному полю: .

— по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

.

3) Замена параметра: если — гладкая, , ,

Тогда .

4) Пусть — произведение путей:

то .

\\ заменить параметр

— противоположный путь (в обратную сторону)

5) Оценка интеграла:

Теорема:

, где — длина пути.

Доказательство:

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Теорема:

Пусть потенциально, — потенциал , — кусочно гладкий. Тогда .

Доказательство:

1) — доказано для гладкого пути

\\

2)

— гладкий

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Теорема:

Если тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в [math] O [/math]

2) Интеграл [math] V [/math] не зависит от пути (в обл. [math] O [/math])

3)

Доказательство:

[math] 1 \Rightarrow 2 [/math] — формула Ньютона-Лейбница

[math] 2 \Rightarrow 3 [/math] — очевидно

[math] \gamma [/math] — петля;

[math] 3 \Rightarrow 2 [/math] — очевидно

[math] 2 \Rightarrow 1 [/math]

Фиксируем точку

Возьмём как-нибудь путь [math] \gamma_x [/math] из [math] x_0 [/math] в [math] x [/math]

— потенциал?

Докажем, что (аналогично )

Выберем [math] B(x, r) \subset O [/math]

теорема о среднем

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Лемма:

Пусть — непрерывна, дифференцируема по при любых и непрерывна на промежутке. Пусть . Тогда дифференцируема и .

Доказательство:

зависит от [math] x, y [/math]

[math] f'_y [/math] — непрерывна на [math] [a, b] \times [c, d] [/math]

— равномерная непрерывность

— определение предела.

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Теорема:

Пусть — гладкое потенциальное векторное поле в . Тогда

Доказательство:

— потенциал, обе части (— непр., т.к. — гладкое)

Лемма:

Пусть — выпуклое, — векторное поле в , гладкое и . Тогда — потенциальное.

Доказательство:

фиксируем

Лемма о гусенице

Лемма:

Пусть . Тогда существуют дробление и шары , что .

Доказательство:

[math] \forall c \in [a, b] [/math] — выберем шар

Пусть

[math] \forall c [/math] мы имеем [math] (\alpha_c, \beta_c) [/math] — открытое покрытие [math] [a, b] [/math] и [math] \exists [/math] конечное подпокрытие

Можно считать [math] \forall i \ \exists s_i [/math] — которое лежит в , но не лежит в

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма:

Пусть — кусочно-гладкие, похожие, — локально-потенциальное векторное поле, . Тогда .

Доказательство:

Cуществуют дробление и шары [math] B_1, ..., B_n \subset O [/math]

[math] \forall k [/math] в [math] B_k [/math] существует потенциал векторного поля [math] V [/math]

Пусть [math] f_1 [/math] — потенциал [math] V [/math] в [math] B_1 [/math], в [math] B_2 [/math] выберем потенциал

в [math] B_3 [/math] выберем и т.д.

Замечание

Лемма о похожести путей, близких к данному

Лемма:

Пусть . Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] такое, что если пути — «близкие» к , то есть , то похожи.

Доказательство:

Cуществуют дробление и шары [math] B_1, ..., B_n \subset O [/math] для [math] \gamma [/math]

[math] \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] [/math] — компакт в [math] B_k [/math]

— удовл. и — гусеница реал. похож. путей

Равенство интегралов по гомотопным путям

Теорема:

Пусть — локально-потенциальное векторное поле в , — связанно гомотопны. Тогда . Тоже верно для петельной гомотопии.

Доказательство:

[math] \Gamma [/math] — гомотопия.

. Проверим, что [math] \Phi [/math] — локальная постоянная

при [math] u \in W(u_0) : \Phi [/math] — постоянна)

— равномерно непрерывна.

верно

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Теорема:

Пусть — односвязная область, — локально потенциальное поле в . Тогда потенциально.

Доказательство:

[math] V [/math] — потенциально

По предыдущей теореме: — гомотопия пост. пути

Следствие: если [math] O [/math] — односвязная, , то [math] V [/math] — потенциально.

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Теорема:

Доказательство:

Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи:

1)

Доказывается заменой и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)

2) Доказываем, что x — точка максимума для [math]\ln{\cos{x}}[/math], вместе с этим заменяем по формуле Тейлора [math]n\ln{\cos{x}}[/math] на [math]-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)[/math] и показываем, что это [math]o(x^2)[/math] не мешает подставить замену в интеграл.

3) Делаем замену , получаем интеграл из условия.

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Лемма:

Пусть непрерывна, на строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда .

Доказательство:

// последняя экспонента с большим показателем

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теорема:

Пусть на , непрерывна, непрерывна, строго убывает, . Тогда .

Доказательство:

В доказательстве используется прием: при в интеграле

вводим замену .

Тогда он превращается в , который при [math]A\to{+\infty}[/math] стремится к

Утверждения:

1) (следствие из теоремы о локализации)

2)

(следствие из приема выше. Да, читается ужасно)

Доказательство

Выбираем окрестность точки [math]a: [a; a+s][/math] и [math]\varepsilon[/math] такое, что

Для [math]A \gt A_0[/math], удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:

По утверждению 2 это меньше или равно . В квадратных скобках то, что нам нужно.

Используя другие части неравенства, находим, что .

Вроде доказали.

Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Теорема:

Пусть непрерывна на . Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) , что .

Доказательство:

// Можно считать

Заметим, что:

— достигается при [math] t = x [/math]

Замечание

[math] \forall f [/math] — непр. на — многочлен : на [math] [a, b] [/math]

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Теорема:

Доказательство:

//

tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i

Определения и факты

Перемещено, а то из-за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах

Участник:Yulya3102/Матан3сем

Содержание

Основные вопросы

Признак Вейерштрасса

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема о перестановке пределов

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Метод суммирования Абеля

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

Единственность производной

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Необходимое условие дифференцируемости.

Достаточное условие дифференцируемости

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Дифференцирование композиции

Дифференцирование «произведений»

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Экстремальное свойство градиента

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах

Достаточное условие экстремума

Лемма о почти локальной инъективности

Теорема о сохранении области

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о локальной обратимости

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Необходимое условие относительного локального экстремума

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Лемма о гусенице

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма о похожести путей, близких к данному

Равенство интегралов по гомотопным путям

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Определения и факты

Навигация

Поиск