Коды Прюфера

Коды Прюфера.

Кодирование Прюфера переводит помеченные деревья порядка n в последовательность чисел от 1 до n по алгоритму:

 Пока количество вершин [math]\gt 1[/math] {
   1. Выбирается лист с минимальным номером.
   2. В последовательность Прюфера добавляется номер смежной вершины.
   3. Лист и инцидентное ребро удаляются из дерева.
 }

Полученная последовательность и есть код Прюфера.

Лемма:

По любой последовательности длиной [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] можно построить помеченное дерево.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство по индукции. База. [math]n = 1[/math] - верно. Переход [math]n \rightarrow n + 1[/math]. Пусть у нас есть последовательность: [math]A = [a_1, a_2, ..., a_{n - 2}].[/math] Выберем минимальное число [math]v[/math] не лежащее в A. Это означает, что [math]v[/math] - вершина, которую мы удалили первой, а, значит, это лист. Соединяем [math]v[/math] и [math]a_1[/math] ребром. Т.к. [math]v[/math] - лист - он нам больше не помешает. Выкинем из последовательности [math]A[/math] - [math]a_1[/math] и применим предположение индукции.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка [math]n[/math] и последовательностями длиной [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Каждому помеченному дереву соотвествует последовательность и только одна - Верно по построению кода. 2. Каждой последовательности соотвествует помеченное дерево и только одно - Верно по предыдущей лемме, т.к. восстанавливали мы однозначно.

[math]\triangleleft[/math]

Следствием из этой теоремы является теорема Кэли. Следствие (Формула Кэли): Количество различных помеченных деревьев порядка [math]n = n^{n - 2}[/math].