Дерево отрезков. Построение

Дерево отрезков — это структура данных, которая позволяет за асимптотику [math]O(\log n)[/math] реализовать любые операции, определяемые на моноиде. Например, следующего вида: нахождение суммы (задача RSQ), минимума или максимума (задача RMQ) элементов массива в заданном отрезке ([math]a[i...j][/math], где [math]i[/math] и [math]j[/math] поступают на вход алгоритма)

При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива, например разрешается присвоить всем элементам [math]a[i...j][/math] какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает [math]O(n)[/math] памяти, а ее построение требует [math]O(n)[/math] времени.

Структура

Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по 2 ребёнка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива [math][0...n-1][/math], левый ребёнок корня содержит результат функции на [math][0...n/2][/math], а правый, соответственно результат на [math][n/2+1...n-1][/math]. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.

Построение дерева

Пусть исходный массив [math]a[/math] состоит из [math]n[/math] элементов. Для удобства построения увеличим длину массива [math]a[/math] так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. [math]2^k[/math], где [math]2^k \ge n[/math]. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив [math]t[/math] из [math]2^{k+1}[/math] элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой [math]n+n/2+n/4...+1 \lt 2n[/math], где [math]n=2^k[/math]. Таким образом, структура занимает линейную память.

Процесс построения дерева заключается в заполнении массива [math]t[/math]. Заполним этот массив таким образом, чтобы [math]i[/math]-й элемент являлся бы значением функции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами [math]2i+1[/math] и [math]2i+2[/math], то есть родитель являлся значением функции своих сыновей. Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив [math]a[/math], а также переменные [math]tl[/math] и [math]tr[/math], обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков ([math]i=0[/math], [math]tl=0[/math], [math]tr=n[/math]), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив [math] a [/math]). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, [math]O(n)[/math].

Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении снизу алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива [math]t[/math] от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента [math] i [/math] его дети [math]2i+1[/math] и [math]2i+2[/math] уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем функцию от них), а при построении сверху спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.

Реализация построения сверху:

TreeBuild(a[], i, tl, tr)
// Мы находимся в элементе с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr)
 if (tl = tr) return;
 if (tr - tl = 1)
    t[i] = a[tl];
 else
    tm = (tl + tr) / 2; //середина отрезка
    TreeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm);
    TreeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr);
    t[i] = f(t[2 * i + 1], t[2 * i + 2]);

Реализация построения снизу:

TreeBuild(a[])
 for i = n - 1 .. 2 * n - 1
  t[i] = a[i - n - 1]
 for i = n - 2 .. 0
  t[i] = f(t[2 * i + 1], t[2 * i + 2])

Персистентное дерево отрезков

Определение:

Персистентной называется такая структура данных, которая хранит все свои промежуточные версии.

Определение:

Полностью персистентной называется такая персистентная структура данных, что разрешено изменять любую её версию и делать запросы к любой её версии.

На основе дерева отрезков можно построить полностью персистентную структуру данных.

Ссылки

- Визуализатор дерева отрезков

- MAXimal :: algo :: Дерево отрезков

- Дерево отрезков — Википедия

- Моноид — Википедия