Фундаментальные циклы графа

Рассмотрим остов [math]T[/math] графа [math]G[/math]. [math]e_1,\ldots,e_{s}[/math] — все ребра графа [math]G[/math], которые не входят в остов [math]T[/math]. При добавлении [math]e_{i}[/math] образуется простой цикл [math]C_{i}[/math]. Семейство циклов [math]C_1 \ldots C_{s}[/math] называется фундаментальными циклами графа [math]G[/math] относительно остова [math]T[/math].

Пример фундаментального цикла в графе. Красным выделен фундаментальный цикл.

Свойства

Теорема:

Множество всех фундаментальных циклов относительно любого остова [math]T[/math] графа [math]G[/math] образует базис циклического пространства этого графа.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим остов [math]T[/math] графа [math]G[/math] и фундаментальные циклы [math] C_1 \ldots C_s [/math] относительно остова [math]T[/math]. В каждом цикле есть ребро [math]e_i[/math], которое принадлежит ровно одному из [math] C_1 \ldots C_{s} [/math]. Поэтому сумма различных фундаментальных циклов относительно остова [math]T[/math] не является пустым графом, из чего следует, что [math] C_1 \ldots C_s [/math] линейно независимы. Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа [math]G[/math] является суммой фундаментальных циклов. Пусть [math]Z[/math] — цикл циклического пространства графа [math]G[/math], [math] e_1 \ldots e_{k} [/math] ребра принадлежащие [math]Z[/math] и не принадлежащие [math]T[/math]. Рассмотрим граф [math] F = Z \oplus C_1 \oplus \ldots \oplus C_{k} [/math]. Каждое из ребер [math] e_{t} , t = 1,\ldots ,k [/math] встречается ровно в двух слагаемых — [math]Z[/math] и [math]C_{k}[/math]. Значит [math]F[/math] содержит только ребра из [math]T[/math]. Так как [math] C_1 \ldots C_{k} [/math] простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин [math]Z[/math] тоже четны по лемме, значит степени всех вершин [math]F[/math] четны. Если [math]F[/math] непустой граф, то в [math]F[/math] есть цикл, значит цикл есть и в [math]T[/math]. Значит [math]F[/math] пустой граф, откуда следует что [math]Z = C_1 \oplus \ldots \oplus C_{k} [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Литература

Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.55. — ISBN 978-5-397-00622-4.