Основные определения, связанные со строками

Базовые определения

Определение:

Символ (англ. symbol) — объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.

Определение:

Алфавит (англ. alphabet) [math]\Sigma[/math] — непустое множество символов.

Примеры:

• [math]\Sigma = \left\{0, 1\right\} [/math] — бинарный алфавит.
• [math]\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} [/math] — алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
• [math]\Sigma = \left\{a, b, c, d, \dots, z\right\} [/math] — английский алфавит.
• [math]\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} [/math] — алфавит цифр.
• Нотные знаки

Определение:

Нейтральный элемент — пустая строка [math]\varepsilon : \varepsilon \in \Sigma^{0}[/math]. Для любой строки [math]\alpha \in \Sigma^k[/math] верно [math] : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha[/math].

Определение:

Замыкание Клини (англ. Kleene closure) — унарная операция над множеством строк либо символов. Замыкание Клини множества [math]\Sigma[/math] есть [math]\Sigma^* : \Sigma^* = \bigcup\limits_{n = 0}^\infty \Sigma^n[/math].

Если [math]\Sigma = \left\{0, 1\right\}[/math], то [math]\Sigma^* = \left\{\varepsilon, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, \dots \right\} [/math].

Определение:

Цепочка (англ. chain) — элемент конечной длины из [math]\Sigma^*[/math].

Определение:

Конкатенация (англ. concatenation) — бинарная, ассоциативная, некоммутативная операция, определённая на словах данного алфавита. Конкатецния строк [math]\alpha \in \Sigma^k[/math] и [math]\beta \in \Sigma^m[/math] является строка [math]\alpha\beta \in \Sigma^{k + m}[/math].

Определение:

Моноид (англ. monoid) — множество, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует нейтральный элемент. [math]\Sigma^*[/math] с операцией конкатенации и нейтральным элементом [math]\varepsilon[/math] образуют моноид

Отношения между строками

Определение:

Префикс (англ. prefix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \alpha \gamma[/math].

Пусть [math]\beta = \underline{abr}acadabra[/math], тогда [math]\alpha = abr[/math] — префикс [math]\beta[/math].

Определение:

Суффикс (англ. suffix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \gamma \alpha [/math].

Пусть [math]\beta = abracada\underline{bra}[/math], тогда [math]\alpha = bra[/math] — суффикс [math]\beta[/math].

Определение:

Бордер (англ. circumfix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta = \alpha \mu \alpha[/math].

Пусть [math]\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}[/math], тогда [math]\alpha = abra[/math] — бордер [math]\beta[/math].

Определение:

[math]\alpha[i][/math] — обращение к символу под номером [math]i[/math] строки [math]\alpha[/math].

Пусть [math]\beta = cacao[/math], тогда [math]\beta[1] = c, \beta[4] = a [/math].

Определение:

Период (англ. period) строки [math]\alpha[/math] — число [math]p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p][/math].

Пусть [math]\alpha = acaacaa[/math], тогда [math]p = 3[/math] — период строки [math]\alpha = acaacaa[/math].

Утверждение:

Пусть известна строка [math]\tau[/math] — период [math]\alpha[/math] и [math]|\alpha|[/math], тогда можно восстановить всю строку [math]\alpha[/math].

[math]\triangleright[/math]

Из определения периода строки следует, что [math]\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] [/math], где [math]k = [/math] [math]\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \rfloor[/math]. Таким образом [math]\alpha = [/math][math]\sum \limits_{i=1}^{\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \rfloor}[/math][math] \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|][/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Строка [math]\alpha \neq \varepsilon[/math] c периодом [math]p \neq |\alpha|[/math], называется сильнопериодической, если [math]|\alpha| \bmod p = 0[/math].

Строка [math]\alpha = acaacaaca[/math] является сильнопериодической с периодом [math]p = 3[/math].

Определение:

Подстрока (англ. substring) — некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.

Пусть [math]\beta = abr\underline{aca}dabra[/math], тогда [math]\alpha = aca[/math] — подстрока строки [math]\beta[/math].

Определение:

Строка [math]\alpha[/math] лексикографически меньше строки [math]\beta[/math] ([math]\alpha \lt \beta[/math]), если 1. [math]\alpha[/math] — префикс [math]\beta[/math] или 2. [math] \mathcal {9} k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) [/math] и [math] \alpha[k] \lt \beta[k] [/math], при этом [math] \mathcal {8} j \lt k : \alpha_j = \beta_j [/math]

Строка [math]\alpha = aca \lt \beta = acaaba[/math], так как является префиксом [math]\beta[/math].

Строка [math]\alpha = acaa \lt \beta = acab[/math], так как [math]a \lt b[/math].

Смотри также

Период и бордер, их связь

Слово Фибоначчи

Слово Туэ-Морса

Литература

• Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.
• Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.
• Gusfield, Dan (1999) [1997]. Algorithms on Strings, Trees and Sequences: Computer Science and Computational Biology. USA: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58519-8.