Список с пропусками

Список с пропусками (skip-list) — вероятностная структура данных, основанная на нескольких отсортированных односвязных списках.

Отсортированный связный список является простейшей структурой с временем поиска [math]\Theta(n)[/math]. Добавление дополнительных уровней, обеспечивающих быстрый доступ через несколько элементов, поможет улучшить асимптотику до [math]\Theta(\log(n))[/math].

Описание

Список с пропусками строится на основе существующего односвязного отсортированного списка.

Добавив дополнительные уровни, каждый из которых представляет предыдущий уровень без нечетных элементов, мы получим возможность осуществлять поиск, вставку и удаление элементов подобно операциям с двоичным деревом поиска. Одинаковые элементы связаны между уровнями. Соответственно, асимптотика этих операций будет составлять [math]\Theta(\log(n))[/math].

Операции над структурой

Поиск элемента

Допустим, что в нашем списке с пропусками существуют два уровня: [math]L_1[/math], в котором содержатся все элементы и [math]L_2[/math], в котором присутствует только часть из них. Между одинаковыми элементами этих двух списков существуют ссылки.

В таком случае алгоритм поиска в этой структуре будет представлять из себя следующие операции:

1. Начинаем поиск элемента в верхнем левом углу
2. Передвигаться будем по списку [math]L_2[/math], пока значение в следующей ячейке меньше или равно ключу
3. Переместиться в нижний уровень и продолжить аналогичный метод поиска по списку [math]L_1[/math]

Пример поиска числа 8 в списке из описания:

Тогда время работы алгоритма поиска будет зависеть от количества элементов на уровне [math]L_2[/math]. Представим, что на этот уровень у нас случайным образом попало несколько элементов. Следовательно в худшем случае поиска мы получим следующую оценку на время работы:

[math] \approx \vert L_2\vert + \dfrac{\vert L_1\vert }{\vert L_2\vert } = \vert L_2\vert + \dfrac{n}{\vert L_2\vert }[/math]

Минимизируя, мы получаем, что [math]\vert L_2 \vert ^ 2 = n[/math]

В итоге время за которое мы найдем элемент в списке с пропусками с двумя уровнями будет равняться:

[math] \sqrt{n} + \dfrac{n}{\sqrt{n}} = 2 \sqrt{n}[/math]

Делая аналогичные подсчеты для списков с пропусками, в которых содержится больше уровней, получаем:

• Для трех уровней: [math] 3 \sqrt[3]{n}[/math]
• Для четырех уровней: [math] 4 \sqrt[4]{n}[/math]
• Для пяти уровней: [math] 5 \sqrt[5]{n}[/math]
• Для [math]\log{n}[/math] уровней: [math] \log{n} \times \sqrt[\log{n}]{n} = n ^ {\frac{1}{log{n}}} \log{n} = n ^ {\log_n{2}} \log{n} = 2\log{n}[/math]

В списках с пропусками, в которых содержится [math]\log{n}[/math] уровней будет себя вести очень похоже на сбалансированные бинарные деревья поиска. В идеальной данной структуре соотношение между соседними уровнями будет равняться двум. Поиск в [math]\log{n}[/math] списке с пропусками будет осуществляться за асимптотическое время [math]O(\log{n})[/math].

Вставка элемента

Для вставки элемента в список с пропусками, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти с помощью алгоритма поиска позицию, куда нам надо вставить этот элемент
2. Вставить наш элемент в нижний уровень списка с пропусками
3. «Подбросить монетку» и в зависимости от результата протолкнуть элемент на уровень выше
4. Повторять предыдущий шаг до тех пор, пока у нас «подброс монетки» дает положительный результат

Таким образом, если использовать честную монету, то математическое ожидание количества элементов на втором уровне равняется [math]\dfrac{n}{2}[/math], на третьем уровне [math]\dfrac{n}{4}[/math] и т.д. На уровне [math]\log{n}[/math] у нас окажется один элемент. Ну и соответственно вероятности попасть элементу на второй уровень — это [math]\dfrac{1}{2}[/math], на третий [math]\dfrac{1}{4}[/math] и т.д. Вероятность попасть на уровень [math]\log{n}[/math] равна [math]\dfrac{1}{n}[/math].

Используя монетку с распределением отличным от {[math]\dfrac{1}{2}[/math], [math]\dfrac{1}{2}[/math]}, можно влиять на количество элементов на верхних уровнях (и соответственно, на количество уровней). Однако как при большем количестве проталкиваний элементов на уровень выше, так и при меньшем, количество шагов при поиске элемента возрастает. При распределении {0, 1} структура превращается в обыкновенный список, при {1, 0} — в [math]n[/math] параллельных списков. В обоих случаях

Удаление элемента

Алгоритм удаления достаточно тривиален.

1. Найти удаляемый элемент
2. Удалить его со всех уровней

Псевдокод

 const float P = 0.5
 
 int random_level()
     int lvl = (int)(log(frand())/log(1.-P))
     if lvl < MAX_LEVEL
         return lvl
     return MAX_LEVEL  
 
 boolean Find (int key)
     SkipNode x = header
     for i = level to 0
         while x.forward[i] != NULL and x.forward[i].value < key
             x = x.forward[i]
     x = x.forward[0]
     return x != NULL && x.value == key
   
   
   
 
 void Insert(int value) 
     SkipNode x = header
     SkipNode update
     update.assign(MAX_LEVEL + 1, 0)
   
     for i = level to 0
         while x.forward[i] != NULL and x.forward[i].value < value
             x = x.forward[i]
         update[i] = x
     x = x.forward[0]
     if x == NULL or x.value != value        
         int lvl = random_level()
         if lvl > level
             for i = level + 1 to lvl
                 update[i] = header
             level = lvl
         x = new SkipNode(lvl, value)
         for i = 0 to lvl
             x.forward[i] = update[i].forward[i]
             update[i].forward[i] = x
           
           
 void Erase(int value)
     SkipNode x = header
     SkipNode update
     update.assign(MAX_LEVEL + 1, 0)
     for i = level to 0
         while x.forward[i] != NULL and x.forward[i].value < value
             x = x.forward[i]
         update[i] = x
     x = x.forward[0]
     if x.value == value
         for i = 0 to level
             if update[i].forward[i] != x
                 break
             update[i].forward[i] = x.forward[i];
         delete x
         while level > 0 or header.forward[level] == NULL
             level--

Ссылки

• Хабрахабр — Списки с пропусками
• Википедия — списоки с пропусками(Ru)
• Википедия — списки с пропусками(En)
• Курс kiev-clrs — Списки с пропусками
• igoro.com — Skip lists are fascinating