Цепные коды

Цепной код для двоичного вектора длиной 4

Цепной код — код, состоящий из n-разрядных слов. Следующее слово кода получается из предыдущего сдвигом на один разряд влево с отбрасыванием первого разряда и добавлением нуля или единицы в конец. Другое определение цепного кода — это код, каждый следующий столбец которого есть циклический сдвиг предыдущего вверх на 1 разряд.

Алгоритм получения цепного кода для двоичного вектора

Для получения цепного кода используется жадный алгоритм. Первое слово кода — слово, полностью состоящая из нулей. Образуя каждое следующее слово, мы сдвигаем предыдущее влево на один разряд, отбрасывая старший, затем добавляем в конец 1 и проверяем, не было ли такого слова раньше. Если было, то меняем последнюю единицу на ноль. Повторяем, пока снова не вернемся к первому слову

Почему алгоритм работает?

Требуется доказать, что алгоритм не повторит 2 слова в коде до того, как закончит цикл и то, что он переберет все возможные варианты.

Во-первых, в этом алгоритме никогда не будет ситуации, когда нам надо образовать новое слово, а оба возможных вариантов (добавление 0 или 1) уже были использованы. Допустим, мы наткнулись на эту ситуацию в первый раз, то есть уже было 2 слова, которые начинались таким же набором единиц и нулей и отличались только в последнем разряде. Но они были получены из двух слов, которые отличаются только в первом разряде, значит, мы должны были столкнуться с данной ситуацией на шаг раньше, но мы предполагали, что это первый подобный случай и пришли к противоречию. Следовательно, мы не можем столкнуться с данной ситуацией.

Во-вторых, мы не сможем снова вернуться к слову из всех нулей, пока не переберем все [math]2^n[/math] слов, где n — длина слова. Допустим, мы всё же получили слово из всех нулей раньше, чем перебрали все слова. Тогда разобьём слова, которые не попали в код на две группы: кончающиеся на 1 и кончающиеся на 0. Докажем, что 2-й группы нет. Рассмотрим слово {хх..хх}0. Раз его нет в коде, то его конец {х..хх}0 встречается в коде не более одного раза, а следовательно слова {x..xx}00 тоже нет в коде. Так эту цепочку можно продолжить до слова 00..000 и прийти к противоречию. А раз 2-й группы нет, то не может быть и 1-й, так как если в коде есть слово, кончающееся на 0, то мы не можем получить его, если не было слова с таким же началом, но с единицей в конце.