Материал из Викиконспекты
| Определение: |
| База (англ. base) — максимальное по включению независимое множество. То есть
[math]B \in I[/math] — база, если [math] \forall A \in I : B \subseteq A \Rightarrow A = B [/math]. |
| Теорема (о равномощности баз): |
Пусть [math]B_1[/math] и [math]B_2[/math] — базы матроида [math]M[/math]. Тогда [math]|B_1| = |B_2|[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Доказательство от противного.
Пусть [math]|B_1| \gt |B_2|[/math]. Тогда по третьей аксиоме определения матроида [math]\exists x \in B_1 \setminus B_2[/math] такой, что [math]B_2 \cup {x} \in I[/math]. То есть [math]B_2[/math] — не максимальное по включению независимое множество, что противоречит определению базы.
Случай [math]|B_2| \gt |B_1|[/math] разбирается аналогично. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема (о базах): |
Пусть [math]M[/math] — матроид и [math]\mathcal{B}[/math] — семейство его баз. Тогда:
1) [math]\mathcal{B} \ne \varnothing[/math];
2) если [math]B_1, B_2 \in \mathcal{B}[/math] и [math]B_1 \ne B_2[/math], то [math]B_1 \nsubseteq B_2[/math] и [math]B_2 \nsubseteq B_1[/math];
3) если [math]B_1, B_2 \in \mathcal{B}[/math], то для [math]\forall b_1 \in B_1 \: \exists b_2 \in B_2 [/math] такой, что [math](B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in \mathcal{B}[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
1) Следует из первой аксиомы определения матроида.
2) Из теоремы о равномощности баз следует, что [math]\neg (B_1 \subset B_2)[/math] и [math]\neg (B_2 \subset B_1)[/math].
А с условием [math]B_1 \ne B_2[/math] получаем [math]B_1 \nsubseteq B_2[/math] и [math]B_2 \nsubseteq B_1[/math].
3) По второй аксиоме определения матроида [math]\forall b_1 \in B_1[/math] верно, что [math](B_1 \setminus b_1) \in I[/math].
По теореме о равномощности баз [math]|B_2|\gt |B_1 \setminus b_1|[/math].
Значит по третьей аксиоме определения матроида [math]\exists b_2 \in B_2 [/math] такой, что [math](B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in I[/math].
А так как [math]|(B_1 \setminus b_1) \cup b_2| = |B_1| \:[/math] и [math]B_1[/math] — база, то [math](B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in \mathcal{B}[/math], что и требовалось доказать. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма: |
Пусть [math]M = \langle X, I \rangle[/math] — матроид, [math]A \in I, a \notin A, A \cup a \notin I[/math]. Тогда:
1) [math]\exists ! \ C \in A \cup a[/math] — цикл
2) [math]\forall b \in C, (A \cup a) \setminus b \in I[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
1) Докажем единственность.
Так как [math]A \cup a \notin I[/math], найдется цикл [math]C_1 \subseteq A \cup a[/math]. Пусть существует и другой цикл [math]C_2 \subseteq A \cup a, C_2 \neq C_1[/math].
Тогда, так как [math]A \in I[/math], [math] a \in C_1[/math] и [math]a \in C_2[/math]. Из теоремы о циклах заключаем, что в таком случае [math]\exists C[/math] - цикл, [math]C \subseteq C_1 \cap C_2 \setminus a[/math].
Но это невозможно, так как [math]C_1 \cap C_2 \setminus a \subseteq A \in I[/math], следовательно, предположение неверно, и [math]C_2 = C_1[/math].
2) Пусть [math]\exists b \in C[/math], такой, что [math](A \cup a) \setminus b \notin I[/math]. Значит, [math](A \cup a) \setminus b[/math] содержит цикл [math]C' \neq C[/math].
Но тогда его содержит и [math]A \cup a[/math], что противоречит пункту 1 леммы. Следовательно, [math]\forall b \in C, (A \cup a) \setminus b \in I[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема (Сильная теорема о базах): |
Пусть [math]M[/math] — матроид и [math]\mathcal{B}[/math] — семейство его баз. Тогда [math]\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B} : \forall x \in B_1 \setminus B_2 : \exists y \in B_2 \setminus B_1[/math]
такой, что [math](B_1 \setminus x) \cup y \in \mathcal{B}[/math] и [math](B_2 \setminus y) \cup x \in \mathcal{B}[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
TBD |
| [math]\triangleleft[/math] |
См. также
Источники информации
