Участник:Iloskutov/Матан 4сем

Определения

Условие L_loc

Определение:

[math]\exists U(y_0)[/math] и [math]\exists g(x)[/math] — суммируемая, что [math]\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| \lt g(x)[/math] Тогда [math]f[/math] удовлетворяет [math]L_{loc}[/math] в точке [math]y_0[/math]

Образ меры при отображении

Определение:

Пусть [math]\Phi^{-1}(B) \in A[/math] [math]\nu \colon B \to \mathbb{R}, \quad \nu(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))[/math] - мера [math]\nu[/math] - образ меры [math]\mu[/math] при отображении [math]\Phi[/math]

Взвешенный образ меры

Определение:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)[/math] [math]w \geqslant 0[/math] - измеримая на [math]X[/math] функция [math]\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A[/math] Тогда [math]v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu[/math] - взвешенный образ [math]\mu[/math] при отображении [math]\Phi[/math], [math]w[/math] - вес

Плотность одной меры по отношению к другой

Определение:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) [/math] [math]X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id[/math] [math]w \geqslant 0[/math] — вес, измерим на [math]X[/math], [math]f[/math] — изм. на [math]X[/math] [math]\nu(B) = \int\limits_B w(x) d\mu[/math] Тогда [math]w[/math] — плотность [math]\nu[/math] относительно [math]\mu[/math]

Заряд

Определение:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}[/math] не обязательно [math]\geqslant 0[/math] и обладает свойством счётной аддитивности Тогда [math]\mu[/math] — заряд

Множество положительности заряда

Определение:

[math]\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0[/math] (заряд [math]E[/math] неотрицателен) [math]B \in A[/math] - множество положительности

Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере

Определение:

[math]\mu, \nu \colon A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow \nu a = 0[/math] Тогда [math]\nu[/math] — абсолютно непрерывная по отношению к мере [math]\mu[/math]

Произведение мер

Определение:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu)[/math] [math]X \times Y[/math] — декартово произведение, [math]\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b \mid a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}[/math] [math]m \colon A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot \nu(b)[/math] [math]m[/math] — произведение мер [math]\mu, \nu[/math] в [math](X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)[/math]

Сечение множества

Определение:

Пусть [math]C \subset X \times Y[/math] [math]C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}[/math] - сечение [math]C[/math] по [math]X[/math] [math]C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}[/math] - сечение [math]C[/math] по [math]Y[/math]

Функция распределения

Определение:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] [math]h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) \lt a)[/math] - конечно [math]H(a) = \mu X (h(x) \lt a)[/math] - функция распределения [math](: \mathbb{R} \to \mathbb{R})[/math]

Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского

Теорема (Гёльдер):

[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] — пространство с мерой; [math]f \in L^p, g \in L^q, p \gt 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1[/math]. Тогда [math] \displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu \lt +\infty ,\; \displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu \leq \left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p} \left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}[/math]

Теорема (Минковский):

Пусть [math](X,\mathfrak{A},\mu)[/math] — пространство с мерой, и функции [math]f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)[/math]. Тогда [math]f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)[/math], и более того: [math]\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}[/math].

Интеграл комплекснозначной функции

Теорема:

[math]f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}[/math] [math](X, \mathfrak A, \mu)[/math]. Тогда: [math]f[/math] — изм., если [math]\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)[/math] — изм. [math]\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu[/math] [math]f[/math] — сумм., [math]\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)[/math] — сумм.

Пространство $L^p(E,\mu)$

Определение:

[math]L^0(E, \mu)[/math] — множество измеримых функций, почти везде конечных на [math]E[/math].

Определение:

[math]L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu \lt +\infty \Bigr\}[/math].

Пространство $L^\infty(E,\mu)$

Определение:

[math]L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| \lt +\infty \Bigr\}[/math]

Существенный супремум

Определение:

[math] f \colon X \to \overline{\mathbb R}[/math] [math]\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M[/math] при почти всех [math]x\}[/math]

Фундаментальная последовательность, полное пространство

Определение:

Последовательность [math]\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)[/math] называется фундаментальной в [math]L^p(X, \mu)[/math], если [math]\|f_n - f_k\|_p \to 0[/math] при [math]k, n \to \infty[/math], т.е. [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| \lt \varepsilon[/math] при [math]k, n \gt N[/math].

Плотное множество

Определение:

[math]X[/math] — метрическое пространство. [math]A \subset X[/math] — (всюду) плотно в [math]X[/math], если для любого открытого мн-ва [math]G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing[/math]. Или, эквивалентно, любой шар [math]B(x_0, r)[/math] содержит точки из [math]A[/math].

Финитная функция

Определение:

[math]f[/math] — финитная в [math]\mathbb R^m[/math], если она равна нулю вне некоторого шара.

Гильбертово пространство

Определение:

[math]\mathcal H[/math] — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.

Определение:

[math]\mathcal{H} \[/math] — гильбертово пространство: [math]\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0[/math] [math]\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a[/math] [math]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k[/math] — ортогональный ряд, если [math]\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j[/math]

Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры

Определение:

Система векторов [math]\{e_i\}[/math] называется ортогональной, если [math]\forall i, j \ e_i \perp e_j[/math]

Определение:

Если к тому же [math]\forall i \ |e_i| = 1[/math] — тогда ортонормированная система

Пример:

Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система

Пример:

[math]\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}[/math] — ортогональная система. [math]\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}[/math] — ортонормированная система в [math]L^2[0; 2\pi][/math]

Пример:

[math]1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}[/math] — ортонормированная система в [math]L^2[0; 2\pi][/math] над [math]\mathbb C[/math]

Коэффициенты Фурье, ряд Фурье

Определение:

[math]t \in L^1[-\pi; \pi][/math], тогда [math]a_k, b_k, c_k[/math] — коэффициенты Фурье для [math]t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))[/math], а ряд [math]\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}[/math] — ряд Фурье

Базис, полная, замкнутая ОС

Определение:

[math]\{e_k\}[/math] — ОС — базис, если [math]\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k[/math] [math]\{e_k\}[/math] — ОС — полная в [math]H[/math], если [math]\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0[/math] [math]\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2[/math] — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если [math]\forall x[/math] выполнено уравнение замкнутости, то [math]\{e_k\}[/math] — замкнутая ОС.

Тригонометрический ряд

Определение:

[math]T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx[/math] — тригонометрический полином степени [math]n[/math].

Определение:

[math]T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx[/math] — тригонометрический ряд.

Ядро Дирихле, ядро Фейера

Определение:

[math]D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc[/math] — ядро Дирихле, [math]\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)[/math] — ядро Фейера

Свёртка

Определение:

[math]f, k \in L^1[-\pi; \pi][/math] [math](f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt[/math] [math](f*k)(x)[/math] — свёртка.

Аппроксимативная единица

Определение:

[math]D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}[/math] — пред. точка [math]D[/math]. [math]\forall h \in D[/math] определена функция [math]K_h(x)[/math], удовлетворяющая свойствам: [math]\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)[/math] L-нормы [math]K_h[/math] огр. в свк.: [math]\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M[/math] [math]\forall \delta \gt 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0[/math] Тогда семейство [math]K_h[/math] называется аппроксимативной единицей.

Усиленная аппроксимативная единица

Определение:

Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую: [math]K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0[/math] Тогда [math]K_h[/math] — усиленная аппроксимативная единица.

Поверхностный интеграл первого рода

Определение:

[math]\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt[/math]

Кусочно-гладкая поверхность в ℝ³

Определение:

[math]M \subset \mathbb R^3[/math] называется кусочно-гладкой, если [math]M[/math] представляет собой объединение: конечного числа простых гладких поверхностей конечного числа простых гладких дуг конечного числа точек

Сторона поверхности

Определение:

Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности

Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов

Определение:

Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности

Определение:

Поле реперов [math]v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3[/math], если [math]\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle[/math] — касательный репер

Определение:

Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов: [math]n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}[/math]

Ротор, дивергенция векторного поля

Определение:

Пусть [math]V = (P, Q, R)[/math] — гладкое векторное поле в некоторой области [math]E \subset \mathbb R^3[/math]. Тогда [math]\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)[/math]

Соленоидальное векторное поле

Определение:

[math]v = (P, Q, R)[/math] — соленоидальное, если существует векторный потенциал [math]B[/math], т.е. [math]v = \operatorname{rot} B[/math].

Теоремы

Теорема об интегрировании положительных рядов

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - [/math] измеримые функции на [math]X, U_n(x) \geqslant 0 [/math] при всех [math]x[/math]. Тогда [math]\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)[/math]

Абсолютная непрерывность интеграла

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), f - [/math] суммируемая функция [math]\forall \epsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E \lt \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu \lt \epsilon[/math]

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f[/math] по мере [math]\mu[/math] [math]\exists g[/math] - суммируемая и [math]\forall n |f_n| \leqslant g[/math] для почти всех [math]x[/math] Тогда [math]f_n, f[/math] - суммируемые и [math]\int |f-f_n| d\mu \to 0[/math]

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f [/math] почти везде [math]\exists g[/math] - суммируемая и [math]\forall n |f_n| \leqslant g[/math] для почти всех [math]x[/math] Тогда [math]f_n, f[/math] суммируемые и [math]\int |f-f_n|d\mu \to 0[/math]

Теорема Фату

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f[/math] почти везде на [math]X[/math], и [math]\exists C \gt 0: \forall n \displaystyle\int_X {f_n \;d\mu} \leqslant C[/math] Тогда [math]\displaystyle\int f \;d\mu \leqslant C[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] g_n = \inf(f_n, f_{n+1}, \dotsc)\\ g_n(x) \leqslant g_{n+1}(x) \leqslant \dotsb \quad \lim g_n = \varliminf f_n = f\\ \displaystyle\int g_n \leqslant \int f_n \leqslant C\\ \int f \;d\mu = \lim_{n \to +\infty} \int g_n \leqslant C [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру

Теорема:

[math]f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)[/math] - имеет смысл и выполнены 2 условия: [math]f[/math] удовлетворяет условию [math]L_{loc}(y_0)[/math] [math] y \rightarrow f(x, y)[/math] - непрерывна при всех [math]x[/math] [math]f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)[/math] при [math]y \to y_0[/math] при всех [math]x[/math] Тогда [math]I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)[/math] непрерывна в [math]y_0[/math]

Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру

Теорема:

[math]f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}[/math] - промежуток [math]\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)[/math] - суммируема, [math]I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)[/math] [math]\forall y[/math] при всех [math]x \quad \exists^* f'_y(x, y)[/math] [math]y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)[/math] удовлетворяет условию [math]L_{loc}(y0)[/math] Тогда [math]I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)[/math]

Вычисление интеграла Дирихле

Теорема:

[math]\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot \operatorname{sgn}(\alpha)[/math]

Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры

Теорема:

[math] (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)[/math] [math] w \geqslant 0 [/math] - измеримая на [math]X[/math] функция [math] \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A[/math] [math]v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu[/math] - взвешенный образ [math]\mu[/math] при отображении [math]\phi, w [/math] - вес Тогда: [math]\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)[/math]

Критерий плотности

Теорема:

[math](X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w[/math] - измеримые, [math]w \geqslant 0[/math] [math]w [/math] - плотность [math]v[/math] относительно [math]\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)[/math]

Лемма о множествах вполне положительности заряда

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E [/math] - множество положительности Тогда [math]\exists G \subset E[/math] - множество положительности: [math]\mu(G) \geqslant \mu(E)[/math]

Теорема Радона — Никодима

Теорема (Радон, Никодим):

[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] — пространство с мерой, [math]\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu[/math] — конечные меры, причём [math]\nu[/math] абсолютно непрерывна относительно [math]\mu[/math]. Тогда [math]\exists ! f[/math] — сумм. отн. [math]\mu[/math] [math]f[/math] — плотность [math]\nu[/math] относительно [math]\mu[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Лемма: [math]f, g[/math] — сумм. отн. [math]\mu[/math]. [math]\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu[/math] Хз если честно((99

[math]\triangleleft[/math]

Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости

Теорема:

[math]\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f[/math] - диффиренцируема в [math]a[/math] Пусть [math]c \gt |\det \varphi'(a)| \gt 0, \quad \mu[/math] - мера Лебега на [math]\mathbb{R}^m[/math] Тогда [math]\exists U(a) \quad \forall[/math] куба [math]Q \subset U(A), a \in Q[/math] [math]\mu(\phi(Q))\lt c \cdot \mu(Q)[/math]

Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме

Теорема:

[math]\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m[/math] - диффеоморфизм Тогда [math]\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)[/math]

Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега

Теорема:

[math]\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math] — диффеоморфизм Пусть [math]O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 [/math] — измерима на [math]O_1[/math] Тогда [math]\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)[/math]

Теорема о произведении мер

Теорема:

[math]\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}[/math]

Принцип Кавальери

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu[/math] - сигма конечные, полные; [math]m = \mu * \nu[/math] [math]C[/math] измеримо в [math]\mathfrak{A} * \mathfrak{B}[/math] Тогда: [math]C_x - \mu[/math] — измерима при всех [math]x[/math] [math]x \to \nu(x)[/math] измерима при всех [math]x[/math] [math]mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)[/math] Аналогично для [math]C_y[/math]

Теорема Тонелли

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v[/math] - сигма конечные, полные; [math]m = \mu * v[/math] [math]f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0[/math] измеримая, [math]f_x := y \to f(x, y)[/math] Тогда: [math]f_x - v[/math]-измерима при почти всех [math]x[/math] [math]f_y - \mu[/math]-измерима при почти всех [math]y[/math] [math]x \to \phi(x) := \int f_x dv[/math] - [math] \mu[/math]-измеримая функция [math]\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)[/math]

Формула для Бета-функции

Теорема:

[math]B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Вычислим интеграл [math]I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y \gt 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy[/math] С одной стороны, [math]I(u, v) = I(u) \cdot I(v)[/math], где [math]I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)[/math] С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим: [math]I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\ {} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi[/math] Сделаем замену [math]\cos^2 \varphi = t[/math]: [math]\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)[/math] Составляя два выражения для [math]I(u, v)[/math], получим [math]B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Фубини

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu[/math] — сигма-конечные, полные; [math]m = \mu \times \nu[/math] [math]f \colon X \times Y \to \overline{\mathbb{R}}[/math] — [math]m[/math]-сумм. Тогда: [math]C_x[/math] — суммируема при всех [math]x[/math] [math] x \to q(x) = \int f_x \,d\nu[/math] сумм при всех [math]x[/math] [math]\int f \,d\nu = \int q \,d\mu[/math] Аналогично для [math]C_y[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f = f_+ - f_- \quad \int\limits_{X \times Y} f_\pm \,dm[/math] — кон. [math]\displaystyle\int_{X \times Y} f \,dm = \int_{X \times Y} f_+ \,dm - \int_{X \times Y} f_- \,dm[/math] [math]\displaystyle\int(f_x)_+ , \int(f_x)_-[/math] — кон. при п.в. [math]x[/math] Т.к. [math]f_+ \geqslant 0 \Rightarrow \displaystyle\int_X \left( \int_Y (f_x)_+ \,d\nu \right) d\mu[/math] — кон. [math] \Rightarrow \displaystyle\int_Y (f_x)_+\,d\nu[/math] — кон. при п.в. [math]x[/math] [math] \varphi(x)_+ = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu \\ \varphi(x) = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu - \displaystyle\int_Y (f_x)_- \,d\nu \\ \int_X |\varphi(x)| \,d\mu = {} \\ {} = \int_X \left| \int_Y (f_x)_+ - \int_Y (f_x)_- \right| \,d\mu \leqslant \int_X \left( \left| \int_Y (f_x)_+ \right| - \left|\int_Y (f_x)_-\right| \right) \,d\mu \\ \int\limits_{X \times Y} f \,dm = \left(\int\limits_{X \times Y} f_+ \right) - \left(\int\limits_{X \times Y} f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f_+ - \int\limits_X \int\limits_Y f_- = {} \\ {} = \int\limits_X \left(\int\limits_Y f_+ - \int\limits_Y f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Объем шара в R^m

Теорема:

[math]V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n[/math] [math]\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}[/math]

Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой)

Лемма:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h[/math] — измерима, почти везде конечна [math]H[/math] — функция распределения: [math]H(t) = \mu X (h \lt t)[/math] [math]\nu = h(\mu)[/math], т.е. [math]\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))[/math] [math]\mu_H[/math] — мера Бореля-Стилтьеса от [math]H[/math] Тогда [math]\mu_H \equiv \nu[/math] на [math]B[/math] (Борелевской сигма-алгебре)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math][a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)[/math] [math]H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h \lt b - \dfrac1n\right)[/math] [math]H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h \lt b - \dfrac1n\right) = \mu X(h\lt b)[/math]   [math]\left(\displaystyle \bigcup X \left(h \lt b - \dfrac1n\right) = X(h\lt b)\right)[/math] [math](*) = H(b) - H(a) = \mu X(h \lt b) -\mu X(h \lt a) = \mu X(a \leqslant h \lt b) = \mu h^{-1} [a, b)[/math] [math]{ } = \nu [a, b)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0[/math] измерима относительно [math]B[/math] Остальное из прошлой леммы Тогда: [math]\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Ну тут тип просто замена в интеграле)))

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о вложении пространств L^p

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] [math]\mu(X) \lt +\infty[/math] [math]1 \leqslant s \lt r \lt +\infty[/math], тогда [math]L^r \subset L^s[/math] [math]\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Напрямую следует из 2 Пусть [math] \dfrac{r}{s} = p \gt 1[/math] [math] q = \dfrac{r}{r - s}[/math] Тогда: [math]\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant \left(\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}}\right)^\frac{s}{r} \cdot \left(\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}}\right)^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \cdot (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}[/math] (по Гёльдеру)

[math]\triangleleft[/math]

Полнота L^p

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)[/math] — полное [math](1 \leqslant p \lt +\infty)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f_n[/math] — фундамтельная в [math]L^p[/math] Строим кандидата на роль предела: [math]\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p \lt \dfrac{1}{2}\\ \\ \varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 \gt N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p \lt \dfrac{1}{4}\\ \\ \varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots[/math] Очевидно, что [math]\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| \lt 1[/math] Рассмотрим [math]S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty][/math] [math]\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p \lt 1[/math] Т.е. [math]\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) \lt 1[/math] При всех [math]x \quad S_N(x) \to S(x)[/math] По теореме Фату [math]\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p \lt 1[/math], т.е. [math]|S(x)|^p[/math] - суммируема Значит [math]|S(x)|[/math] почти везде конечна. [math] \Rightarrow [/math] Ряд [math] \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)[/math] абсолютно сходится при почти всех [math]x[/math]. [math]f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)[/math] При всех [math]x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)[/math] [math]\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p[/math] — конечна [math]\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \quad \forall m, n \gt N \quad \|f_n-f_m\|_p^p \lt \varepsilon^p[/math] Возьмём [math]m:=N_k \gt N[/math] [math]\|f_n-f_{N_k}\|_p^p \lt \epsilon^p[/math] [math]\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) \lt \varepsilon^p[/math] По теореме Фату: [math]\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu \lt \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Плотность в L^p множества ступенчатых функций

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), f - [/math] ступенчатая [math] = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times[/math] [math]\chi_{Ek}[/math] [math]X = \bigsqcup X_k[/math] [math]\mu X (f \neq 0) -[/math] конечно в [math]L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)[/math] множество ступенчатых функций плотно

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| \lt +\infty[/math] Поправив [math]f[/math] на множестве нулевой меры, получим [math]\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty[/math] [math]f[/math] — изм. огр., [math]\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|[/math] [math]p \lt +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)[/math] — есть ли здесь ступ. ф-ия? [math]f \geqslant 0 \quad \exists[/math] ступ. [math]h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f[/math] [math]\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0[/math] [math]\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0[/math] (по т. Лебега).

[math]\triangleleft[/math]

Лемма Урысона

Теорема:

[math]F_0, F_1 - [/math] два непересекающихся замкнутых множества из [math]\mathbb{R}^m[/math] Тогда [math]\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}[/math] (непрырывная)[math]: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\forall[/math] замкн. [math]F[/math] и [math]\forall[/math] откр. [math]G \supset F[/math] [math]\exists[/math] откр. [math]H : F \subset H \subset \overline H \subset G[/math]. [math]\exists U(F_0), U(F_1)[/math] — откр.: [math]U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing[/math] [math]F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1[/math] [math]\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1[/math] Аналогично можно ввести [math]G_{1/4}, G_{3/4}[/math] и так далее [math]G_{\alpha}[/math] для любого двоично-рационального [math]\alpha \in [0; 1][/math]. [math]f(x) := \sup \{x \in G_\alpha \mid \alpha[/math] — дв. рац. [math] \}[/math] — непр. [math](a, b) \subset [0, 1], a[/math] — дв. рац.   [math]{}\quad f^{-1}(a, b) = \!\!\!\!\!\!\displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}}\!\!\!\!\!\! G_\alpha \setminus \overline{G_a}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Плотность в L^p непрерывных финитных функций

Теорема:

[math]\forall p: 1 \leqslant p \lt +\infty \quad C_0[/math] всюду плотно в [math]L^p(R^m)[/math]

Теорема о непрерывности сдвига

Теорема:

[math]f_n(x) = f(x + h)[/math] [math]f[/math] - равномерно непрерывна на [math]\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0[/math] [math]1 \leqslant p \lt +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0[/math] [math]f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0[/math] [math]1 \leqslant p \lt +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0[/math]

Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве

Теорема:

Пусть есть ГП [math]x_n \to x, y_n \to y \quad[/math] Тогда [math]\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle[/math] [math]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - [/math] ряд, сходящийся в ГП. Тогда [math]\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle[/math] [math]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - [/math] ортогональный ряд. Тогда [math]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - [/math] сходится [math]\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - [/math] сходится.

Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе

Теорема:

[math]\mathcal{H} -[/math] ГП [math]\{e_k\} - [/math] Ортогональная система. [math]x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k[/math] Тогда: [math]\{e_k\} - [/math] ЛНЗ [math]\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k[/math] [math]C_k \cdot e_k - [/math] это проекция [math]X[/math] на 1-номерное подпространство, порождённое [math]e_k[/math]. [math] x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k [/math]

Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя

Теорема:

[math]\{e_k\} - [/math] Ортогональная система в [math]\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}[/math] [math]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - [/math] частичные суммы ряда Фурье [math]\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)[/math] Тогда: [math]S_n - [/math] проекция [math]x[/math] на [math]\alpha_n[/math] [math]S_n - [/math] элемент наилучшего приближения (в [math]\alpha_n[/math]) для [math]x[/math] [math]\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|[/math] [math]\| S_n \| \leqslant \| x \|[/math] Следствие: [math]\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2[/math] (Неравенство Бесселя)

Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля

Теорема:

[math]\{e_k\} - [/math] Ортогональная система в [math]\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}[/math] Ряд Фурье [math]x[/math] сходится в [math]\mathcal{H}[/math] [math]x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, [/math] тогда [math]\forall k \quad z \perp e_k[/math] [math]x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2[/math] (Равенство Парсеваля)

Теорема о характеристике базиса

Теорема:

[math]\{e_k\}[/math] — ОС в [math]H[/math]. Тогда экв.: [math]\{e_k\}[/math] — базис Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: [math]\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2[/math] [math]\{e_k\}[/math] — замкнута [math]\{e_k\}[/math] — полная [math]Lin(e_1 e_2 \dots)[/math] — плотно в [math]H[/math]

Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда

Теорема:

[math]T(x) - [/math] тригонометрический ряд, [math]\quad S_n(x) - [/math] частичные суммы Пусть [math]f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f [/math] в пространстве [math]L^1[/math] Тогда: [math]a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}[/math] [math]b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}[/math] [math]c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}[/math]

Теорема Римана — Лебега

Теорема:

[math]E \subset \mathbb{R}[/math] — измеримо, [math]f \in L^1(E)[/math] Тогда [math]\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0[/math] (То же самое можно и с [math]\cos {x}[/math] и [math]\sin {x}[/math] вместо [math]e^{ikx}[/math])

Принцип локализации Римана

Теорема:

[math]f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta \gt 0[/math] [math]f(x) = g(x) [/math] при [math] x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)[/math] Тогда [math]S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0[/math]

Признак Дини. Следствия

Теорема:

[math]f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}[/math] Пусть [math]\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt \lt +\infty [/math] Тогда [math]S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S[/math]

Корректность определения свертки

Теорема:

Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q

Теорема:

[math]f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p \lt +\infty[/math] Тогда [math]f * k[/math] - непрерывна на [math][-\pi, \pi][/math] [math]\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q[/math]

Теорема о свойствах аппроксимативной единицы

Теорема:

[math]K_n[/math] — аппроксимативная единица. Тогда [math](h \to h_0)[/math]: [math]f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f[/math] [math]f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0[/math] [math]f \in L^1, f[/math] — непр. [math]x_0 \quad K_n - [/math] ??? а.е. [math]f * K_n[/math] — непрерывна в окрестности [math]x_0[/math] [math](f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)[/math]

Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических

Теорема:

[math]\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n [/math] (по методу средних арифметических) [math] = S[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\sum a_n [/math] (по методу средних арифметических) [math] = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k[/math] [math] \left|\dfrac{\sum_{k=0}^n S_k}{n+1} - S\right| = \left|\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}\right| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}\\ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n \gt N_1 \quad |S_n - S| \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \\ \sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} \lt \varepsilon[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Фейера

Теорема:

3 пункта: [math] f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)[/math] [math] f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math] [math] f \in L^1, f - [/math] непр. [math] x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)[/math]

Полнота тригонометрической системы

Теорема:

Тригонометрическая система полна в [math]L^2[/math] (Следствие теоремы Фейера)

Формула Грина

Теорема:

[math]\mathbb R^2[/math] — ориент. с помощью нумерации координат. [math]D \subset \mathbb R^2[/math] — компактное, связное, односвязное, с [math]C^2[/math]-гладкой границей. [math](P, Q)[/math] — гладкое векторное поле. Пусть граница [math]D (\partial D)[/math] ориентирована согласованно с ориентацией плоскости. Тогда [math]\displaystyle\int_{\partial D} P \,dx + Q \,dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx\, dy[/math]

Формула Стокса

Теорема:

[math]D \subset \mathbb R^3[/math] — простая гладкая поверхность в [math]\mathbb R^3[/math], [math]\partial D[/math] — [math]C^2[/math]-гладкая кривая, [math]n_0[/math] — сторона поверхности; ориентированы согласованно с [math]\partial D[/math] [math](P,Q,R)[/math] — гладкое векторное поле на [math]D[/math]. Тогда: [math]\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy[/math]

Формула Гаусса — Остроградского

Теорема:

Бескоординатное определение ротора

Теорема:

Бескоординатное определение дивергенции

Теорема:

Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции

Теорема: