Список заданий по ДМ 2016 весна

<wikitex>

1. Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
2. Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
3. Чему равна вероятность, что если вытянуть из колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
4. Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
5. Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
6. Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 интересных матчей?
7. Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
8. Приведите пример событий, независимых попарно, но зависимых в совокупности
9. Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
10. Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
11. Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
12. Рассмотрим множество костей домино (неупорядоченные пары $(i, j)$, где $i$ и $j$ от 0 до 6, всего костей 28). Можно ли вероятностное пространство костей домино естественным образом представить как прямое произведение вероятностных пространств?
13. Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
14. Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
15. Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
16. Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
17. Перемножим счетное число вероятностных пространств, соответствующих честным монетам. Что получится? Как бы вы ввели на результате вероятностную меру?
18. Найдите математическое ожидание и дисперсию значения на нечестной монете
19. Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
20. Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
21. Докажите, что если $f$ и $g$ независимы, то для любых $a$ и $b$ события $[f = a]$ и $[g = b]$ независимы
22. Случайные величины f, g и h называются независимыми в совокупности, если для любых a, b и c события [f <= a], [g <= b] и [h <= c] независимы. Приведите пример независимых попарно, но не независимых в совокупности случайных величин
23. Случайные величины f, g и h называются независимыми в совокупности, если для любых a, b и c события [f <= a], [g <= b] и [h <= c] независимы. Приведите пример независимых попарно, но не независимых в совокупности случайных величин, запрещается использовать величины, пропорциональные индикаторным случайным величинам событий
24. Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
25. Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
26. Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
27. Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
28. Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
29. Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
30. Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
31. Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
32. Найдите математическое ожидание и дисперсию значения на честной игральной кости
33. Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$?
34. Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
35. Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Какова погрешность оценки?
36. Докажите, что вероятность того, что значения на двух нечестныъ игральныъ костях совпадает, не меньше $1/6$.
37. Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до первого выпадения 1.
38. Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
39. Докажите, что корреляция случайных величин лежит в диапазоне от -1 до 1
40. Докажите или опровергните, что корреляция случайных величин равна 0 тогда и только тогда, когда они независимы
41. Докажите, что корреляция случайных величин равна 1 тогда и только тогда, когда они линейно зависимы $(f = cg)$ и $c > 0$ (если $c < 0$, то корелляция равна -1)
42. Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
43. Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 01. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
44. Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 01. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
45. Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?

</wikitex>