Дисперсия случайной величины

Определение

Определение:

Дисперсией случайной величины (англ. variance) называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: [math]D \xi = E(\xi -E\xi)^2 [/math], где [math]\xi[/math] — случайная величина, а [math]E[/math] — символ, обозначающий математическое ожидание

Дисперсия характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

  [math]D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2[/math]

Линейность

Теорема:

Если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] — независимые случайные величины, то: [math]D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Из определения: [math]D(\xi + \eta) = E(\xi + \eta - E(\xi + \eta))^2 = E(\xi - E\xi + \eta - E\eta)^2 =[/math] [math] = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))[/math] При этом, [math]E\xi\eta - E\xi E\eta = 0[/math], так как [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] — независимые случайные величины. Действительно, [math]E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a)P(\eta = b) =[/math] [math] {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D\xi \geqslant 0[/math]
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]Da = 0[/math]
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  [math]\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)[/math], где [math]\! \text{Cov}(\xi, \psi)[/math] — их ковариация

• [math]D (a\xi) = a^2D\xi[/math], где [math]a[/math] — константа. В частности, [math]D(-\xi) = D\xi[/math]
• [math]D(\xi+b) = D\xi[/math], где [math]b[/math] — константа.

Пример

Рассмотрим простой пример вычисления математического ожидания и дисперсии.

Задача:

Найдем математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на кубике с первого броска.

[math] \xi(i) = i [/math]

Вычислим математическое ожидание: [math]E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot 1/6+2\cdot 1/6 \dots +6\cdot 1/6 = 3.5[/math]

Вычислим дисперсию: [math]D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot 1/6+4\cdot 1/6 \dots +36\cdot 1/6 - (3.5)^2 \approx 2.9[/math]

Источники

• Дискретный анализ, Романовский И. В.