Дисперсия случайной величины

Определение:

Дисперсией случайной величины (англ. variance) называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: [math]D \xi = E(\xi -E\xi)^2 [/math], где [math]\xi[/math] — случайная величина, а [math]E[/math] — символ, обозначающий математическое ожидание

Дисперсия характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Утверждение:

В силу линейности математического ожидания справедлива формула [math]D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]D \xi = E(\xi - E\xi)^2 = E(\xi^2 -2(E\xi)\xi + (E\xi)^2) = [/math] [math]= E\xi^2 + (E\xi)^2 - 2(E\xi)E\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Линейность

Теорема:

Если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] — независимые случайные величины, то: [math]D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Из определения: [math]D(\xi + \eta) = E(\xi + \eta - E(\xi + \eta))^2 = E(\xi - E\xi + \eta - E\eta)^2 =[/math] [math] = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))[/math] При этом, [math]E\xi\eta - E\xi E\eta = 0[/math], так как [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] — независимые случайные величины. Действительно, [math]E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a)P(\eta = b) =[/math] [math] {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D\xi \geqslant 0[/math]
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]Da = 0[/math]
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  [math]\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)[/math], где [math]\! \text{Cov}(\xi, \psi)[/math] — их ковариация

• [math]D (a\xi) = a^2D\xi[/math], где [math]a[/math] — константа. В частности, [math]D(-\xi) = D\xi[/math]
• [math]D(\xi+b) = D\xi[/math], где [math]b[/math] — константа.

Связь с центральным моментом

Определение:

Центральным моментом (англ. central moment) [math]k[/math]-ого порядка случайной величины [math]\xi[/math] называется величина [math]\mu_k[/math], определяемая формулой [math]\mu_k = E(\xi -E\xi)^k[/math].

Заметим, что если [math]k[/math] равно двум, то [math]\mu_2 = E(\xi -E\xi)^2 = D \xi[/math]. Таким образом, дисперсия является центральным моментом второго порядка.

Пример

Рассмотрим простой пример вычисления математического ожидания и дисперсии.

Задача:

Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на честной игральной кости с первого броска.

[math] \xi(i) = i [/math]

Вычислим математическое ожидание: [math]E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot \dfrac{1}{6} +2\cdot \dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \dfrac{1}{6} = 3.5[/math]

Вычислим дисперсию: [math]D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot \dfrac{1}{6}+4\cdot \dfrac{1}{6} \dots +36\cdot \dfrac{1}{6} - (3.5)^2 \approx 2.9[/math]

См. также

• Ковариация случайных величин
• Корреляция случайных величин

Источники информации

• Романовский И. В. Дискретный анализ, 3-е изд.: Издательский дом "Невский диалект", 2003 — стр. 68.
• Википедия — Дисперсия случайной величины
• Wikipedia — Variance
• EXPonenta.ru — Числовые характеристики случайных величин