1p1sumu

[math]1 \mid p_i=1\mid \sum U_i[/math]

Задача:

Дан один станок и [math]n[/math] работ, для которых заданы их дедлайны [math]d_i[/math], а все времена выполнения на этом станке [math]p_i = 1[/math]. Нужно успеть выполнить как можно больше работ.

Алгоритм

Чтобы получить оптимальное расписание, будем строить максимальное множество [math]S[/math] тех работ, которые успеют выполниться. Само расписание тогда будет состоять из всех работ из [math]S[/math], упорядоченных по неубыванию дедлайнов. Будем добавлять в [math]S[/math] работы в порядке неубывания значений [math]d_j[/math], если успеваем их выполнить.

Отсортировать работы так, чтобы [math]d_1 \leqslant d_2 \leqslant \dots \leqslant d_n[/math]
[math]S = \varnothing[/math]
[math]time = 0[/math]
for i = 1 to n do
  [math]d_i = \min\{d_i, n\}[/math] 
for i = 1 to n do
  if [math]time \lt  d_i[/math]
    [math]S = S \cup \{ i \}[/math]
  [math]time[/math] += [math]1[/math]
  

Cортировку работ по неубыванию дедлайнов осуществляем с помощью сортировки подсчетом за [math]O(n)[/math], а значит и весь алгоритм будет работать за [math]O(n)[/math]. Во время сортировки стоит учитывать, что дедлайны могут значительно превосходить количество задач. В таком случае необходимо предварительно пересчитать дедлайны по формуле [math]d_i = \min\{d_i, n\}[/math] (в оптимальном расписании мы не выполняем работы позже времени [math]t=n[/math]).

В результате выполнения данного алгоритма будет получено корректное расписание, в котором каждая работа встречается не более одного раза. Оптимальность полученного расписания доказывается аналогично [math]1 \mid \mid \sum w_{i}U_{i}[/math].

См. также

• Классификация задач
• [math]1 \mid \mid \sum U_{i}[/math]
• [math]1 \mid \mid \sum w_{i}U_{i}[/math]

Источники информации

• Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» — «Springer», 2006 г. — 86 стр. — ISBN 978-3-540-69515-8