Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается [math]D[X][/math] в русской литературе и [math]\operatorname{Var}\,X[/math] в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный [math]\displaystyle \sigma[/math], называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Определение

Пусть [math]\displaystyle X[/math] — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

[math]D[X] = \mathbb{E}\left[(X -\mathbb{E}[X])^2\right] [/math]

где символ [math]\mathbb{E}[/math] обозначает математическое ожидание.

Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

  [math]D[X] = \mathbb{E}[X^2] - \left(\mathbb{E}[X]\right)^2;[/math]

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D[X] \geqslant 0;[/math]
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]D[a] = 0.[/math] Верно и обратное: если [math]D[X]=0,[/math] то [math]X =\mathbb{E}[X][/math] почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  [math]\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{Cov}(X, Y)[/math], где [math]\! \text{Cov}(X, Y)[/math] — их ковариация;

• [math]D\left[aX\right] = a^2D[X];[/math]
• [math]D\left[-X\right] = D[X];[/math]
• [math]D\left[X+b\right] = D[X].[/math]