Представление производящей функций в виде непрерывных дробей

Определения

Определение:

Непрерывная дробь (англ. continued fraction) — это бесконечное математическое выражение вида [math]a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}}\;[/math] где [math]a_{0}[/math] и [math]b_n[/math] есть целые числа, а [math]a_n[/math] — натуральные числа (положительные целые).

Если [math]b_i = 1[/math] для всех [math]i[/math], выражение называется простой непрерывной дробью (англ. regular continued fraction).

В некоторой литературе вместо термина «непрерывная дробь» используют термин «цепная дробь».

Определение:

Конечная непрерывная дробь (англ. finite continued fraction) — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle[/math] и [math]\langle b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.[/math]

Свойства

1. Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби [math]\cfrac{P_n}{Q_n}[/math], которую называют n-ой подходящей дробью.
2. Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь:

   [math]\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;[/math]

   Например для функции [math]f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}[/math]:

   [math]f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;[/math]

3. Рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь.

Утверждение:

Дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.

Функция Каталана в виде непрерывной дроби

Производящая функция для чисел Каталана удовлетворяет квадратному уравнению

[math]s^{2}Cat^{2}(s) − Cat(s) + 1 = 0.[/math]

Перепишем это уравнение в виде

[math]Cat(s) - s^{2}Cat^{2}(s)= 1,[/math]

или

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - s^{2}Cat^{2}(s)}.[/math]

Подставив выражение для [math]Cat(s)[/math] из левой части равенства в правую часть того же равенства, получим

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^{2}Cat(s)}}.[/math]

Подставляя вновь выражение для [math]Cat(s)[/math] в получившееся равенство и продолжая этот процесс, мы получаем представление для функции Каталана в виде непрерывной дроби:

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cdots}}}.[/math]

Полученное разложение нужно понимать следующим образом. Если мы оборвем непрерывную дробь на [math]n[/math]-м шаге (оставив вместо нее конечную непрерывную дробь, которая представляет собой рациональную функцию), то коэффициенты разложения полученной функции по степеням [math]s[/math] будут совпадать с коэффициентами разложения функции [math]Cat(s)[/math] вплоть до члена [math]s^{2n}[/math]. Заметим, что из-за наличия множителя [math]s^2[/math] в числителе очередной дроби, присоединяемой на [math](n + 1)[/math]-м шаге, увеличение числа членов в непрерывной дроби не приводит к изменению первых [math]n[/math] коэффициентов в ее разложении. Например,

[math]\cfrac{1}{1 - s^{2}} = \boldsymbol{1 + s^2} + s^4 + s^6 + s^8 + \cdots,[/math]

[math]\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - s^2}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^4} + 4s^6 + 8s^8 + \cdots,[/math]

[math]\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^2}}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^4 + 5s^6} + 13s^8 + \cdots[/math]

Стабилизирующаяся часть разложения выделена.

Треугольник Дика

Треугольник Дика перечисляет пути в положительном квадранте плоскости, выходящие из начала координат и составленные из векторов [math](1, 1)[/math] и [math](1, −1)[/math].

Изменим несколько треугольник Дика, поставив на стрелках числа. А именно, поставим на каждой стрелке номер того ряда, в котором она находится. Номер на стрелке мы будем интерпретировать как ее кратность, то есть как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь.

Теорема:

Производящая функция [math]F_{0}(s) = 1 + s^2 + 5s^4 + 61s^6 + 1385s^8 + \cdots[/math] для нижней стороны треугольника Дика представляется в виде непрерывной дроби [math]F_{0}(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1^2s^{2}}{1 - \cfrac{2^2s^2}{1 - \cfrac{3^2s^2}{1 - \cdots}}}}.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Производящая функция [math]F_0(s)[/math] перечисляет различные пути с началом и концом на высоте [math]0[/math]. Обозначим через [math]F_i(s)[/math] производящую функцию, перечисляющую пути с началом и концом на высоте [math]i[/math], которые не опускаются ниже уровня [math]i[/math], по их длине. Тогда [math]F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)}.[/math] Действительно, каждый путь с началом и концом на высоте [math]0[/math] единственным образом разбивается на такие участки, что Концы пути на каждом участке лежат на высоте [math]0[/math]. Высота всех промежуточных точек пути на каждом участке больше нуля. Если отбросить начальный и конечный отрезок такого участка, то мы получим путь, начинающийся и заканчивающийся на высоте [math]1[/math]. Аналогично, [math]F_1(s) = \cfrac{1}{1 - 4s^2F_2(s)}.[/math] Появление четверки в коэффициенте при [math]s^2[/math] объясняется тем, что к данному пути, начало и конец которого лежат на высоте [math]2[/math], начальный и конечный векторы, превращающие его в путь на высоте [math]1[/math], можно добавить четырьмя «различными» способами. Продолжая это рассуждение, мы заключаем, что [math]F_k(s) = \cfrac{1}{1 - (k+1)^2s^2F_{k+1}(s)},[/math] и непрерывная дробь теперь выписывается очевидным образом: [math]F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - 4s^2F_2(s)}} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1s^{2}}{1 - \cfrac{4s^2}{1 - \cfrac{9s^2}{1 - \cdots}}}}.[/math]

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Производящая функция
• Арифметические действия с формальными степенными рядами

Источники информации

• Лекции о производящих функциях
• Непрерывная дробь