Эволюционные алгоритмы кластеризации

Формулировка задачи кластеризации в общем случае не задаёт условие близости относительно метрики (см. теорему Клейнберга); в связи с этим, многие разработанные методы и алгоритмы решения задачи кластеризации предполагают применимость конкретной меры близости объектов для анализа рассматриваемой выборки.

Альтернативный подход заключается в задании индекса кластеризации как меры близости объектов внутри кластеров и использовании универсального метода для оптимизации этого индекса; эволюционные алгоритмы являются одним из семейств таких универсальных методов.

Описание метода

Для решения задачи кластеризации (hard clustering) эволюционный алгоритм использует:

• разбиения выборки в качестве особей;
• индекс кластеризации в качестве целевой функции;
• операции видоизменения разбиений в качестве мутаций;
• операции комбинирования ("скрещивания") разбиений в качестве кроссовера;
• и т.д.

Параметры эволюционного алгоритма

Из описания выше следует, что эволюционный алгоритм кластеризации задаётся рядом гиперпараметров — таких как инициализация, применяемые мутации, схема самого алгоритма и т.п. Некоторые исследованные элементы конфигурации эволюционного алгоритма кластеризации приведены ниже.

Представление особи

Различные мутации, кроссоверы и способы инициализации особи предполагают некоторое её представление в памяти. Например:

• целочисленное кодирование по меткам кластеров (label-based integer encoding) — для каждого объекта в выборке его кластер задаётся непосредственно. Таким образом, вся особь — это массив из $N$ чисел, соответствующих кластерам элементов выборки размера $N$.
• решётчатое кодирование — для каждого вещественного признака (feature) объектов одного кластера задаются верхняя и нижняя граница. Таким образом, область одного кластера $f$-мерной выборки ограничивается $f$-мерным гиперкубом.
• вещественное кодирование (real encoding) — для каждого кластера $f$-мерной выборки задаётся его центроид — синтезированный объект, определяемый его координатами в пространстве выборки. Принадлежность объекта к кластеру определяется центроидом, который ближе всего к объекту согласно используемой метрике. Вся особь определяется вещественным вектором размера $k \cdot f$.
• бинарное кодирование (binary encoding) — то же самое, что и вещественное кодирование, но в качестве центроида используется элемент выборки (прототип). Таким образом, одна особь может быть представлена вектором из $N$ булевых значений, из которых $k$ истинных определяют прототипы соответствующих $k$ кластеров.
• древесное бинарное кодирование (tree-based binary encoding) — по выборке строится минимальное остовное дерево; особь кодируется вектором из $N-1$ булевых значений, среди которых $k-1$ истинное соответвует рёбрам остовного дерева, разделяющим кластеры.

Мутации

В качестве мутации можно либо использовать одну из операций, приведённых ниже, либо случайно (н-р, равновероятно) выбирать одну из нескольких таких операций.

Разбиения, слияния и переназначения

В этом разделе приведён ряд мутаций, предполагающих целочисленное кодирование особи. Общим свойством этих операций является необходимость выбрать один, два или более кластеров, над которыми операции производятся. Делать это можно либо случайно (unguided), либо выборочно (guided) на основе той или иной характеристики кластера (interestingness) — например, расстояний объектов до центроида, плотности объектов в кластере и т.п.

• разбиение кластера (split-gene) — выбранный кластер делится вдоль $N-1$-мерной поверхности (н-р, гиперплоскости; для двухмерного случая это прямая) на два новых. Гиперплоскость можно задать:
  • случайно на основе выпуклой оболочки кластера;
  • случайно по направлению, а по положению — выборочно на основе индуцированной функции распределения (или гистограммы) положения объектов кластера вдоль оси, перпендикулярной гиперплоскости;
  • детерминированно как медиану между центроидом кластера и самой отдалённым от центроида объектом.
• слияние двух кластеров (merge-gene) — выбранные два кластера объединяются в один.
• удаление кластера — все объекты выбранного кластера переназначаются в другие кластеры на основе расстояния до них.
• переназначение элементов кластера (remove-and-reclassify) — небольшой набор объектов выбранного кластера переназначается в другие кластеры. Вместе с объектом можно также переместить случайное число (от 0 до $N/k$) ближайших к нему объектов. Набор объектов и целевой кластер можно задать случайно или выборочно на основе расстояний до соседних кластеров.

Следует заметить, что если алгоритм использует хотя бы одну операцию разбиения, то должна быть включена в рассмотрение какая-нибудь операция слияния, и наоборот. Иначе количество кластеров либо уменьшится до двух, либо возрастёт до $N$.

Модификация прототипа

Над прототипами (как вещественно, так и бинарно закодированными) можно проводить операции удаления и добавления; также у вещественного прототипа (центроида) можно поменять координаты. Помимо этого, можно получить гибрид эволюционного алгоритма и K-Means, совершая в качестве одной из возможных мутирующих операций шаг алгоритма $k$ средних значений. Аналогично можно внедрить EM-шаг из Gaussian mixture, но для этого нужно при кодировании особи задавать дисперсию распределения при каждом центроиде.

Кроссовер

В качестве операций кроссовера различными авторами были опробованы:

• k-точечный кроссовер (k-point crossover) на целочисленном и вещественном кодировании;
• однородный кроссовер (uniform crossover) на древесном бинарном кодированиии;
• скрещивание кластеров — из выбранного кластера первой особи удаляется часть объектов, после чего в него добавляются случайно выбранные объекты из кластера второй особи. Удалённые объекты переназначаются в другие кластеры первой особи. На всех стадиях этой операции, требующих выбор объектов или кластеров, можно использовать как выборочную (guided), так и полностью случайную (unguided) стратегии, аналогично описанию мутаций разбиения и слияния.

Инициализация

Задание особей первого поколения алгоритма может производиться с помощью различных эвристик:

• случайная инициализация — объекты назначаются в кластеры полностью случайным образом. Качество у полученной особи наихудшее, но можно использовать этот способ для тестирования.
• случайный выбор прототипов — прототипы бинарно закодированной особи задаются случайно.
• пространственная инициализация — например, объекты назначаются в кластеры на основе их координаты вдоль случайной оси.
• запуск другого алгоритма кластеризации — особь можно инициализировать с помощью K-Means, иерархической кластеризации и проч.

Виды алгоритмов

На момент написания статьи автору было известно о попытках использования эволюционных алгоритмов Roulette wheel selection, $(\mu + \lambda)$, алгоритма многокритериальной оптимизации PESA-II.

См. также

• Кластеризация
• Оценка качества в задаче кластеризации
• Эволюционные алгоритмы

Примечания

• Кластерный анализ - Википедия
• Эволюционные алгоритмы - Википедия
• Crossover (genetic algorithm) - Wikipedia

Источники информации

• Hruschka, E.R. A Survey of Evolutionary Algorithms for Clustering / E.R. Hruschka, R.J.G.B. Campello, A.A.Freitas, A.C.P.L.F. de Carvalho // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics — Part C: Applications and Reviews, Vol. 39 — 2009 — С.133-155
• Lu, W. A novel evolutionary clustering algorithm based on Gaussian mixture model / W. Lu, I. Traore // ICCOMP'06 Proceedings of the 10th WSEAS international conference on Computers — 2006 — C. 686-691