Теорема о существовании порога для монотонных свойств

Рассмотрим биномиальную модель случайного графа $G(n,p)$.

Определение:

Подмножество $\mathcal{A}$ всех графов на $n$ вершинах называется свойством (англ. graph property).

Определение:

Свойство называется нетривиальным (англ. non-trivial property), если существуют графы, как удовлетворяющие ему, так и нет.

Определение:

Свойство $\mathcal{A}$ называется монотонным (англ. monotone property), если $\forall\,G_1,G_2\in G(n,p),\, E(G_1)\subset E(G_2)$ выполнено следствие: $G_1\in \mathcal{A}\Rightarrow G_2\in\mathcal{A}$

Определение:

Функция $p_0(n)$ называется пороговой для монотонного свойства $\mathcal{A}$ (англ. threshold), если $\forall\,p(n)$ выполнено: $P(G(n,p)\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$ $P(G(n,p)\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$

Мы уже знакомы с некоторыми пороговыми функциями.

Лемма (о монотонности вероятности):

$p_2\geqslant p_1\Rightarrow P(G(n,p_2))\geqslant P(G(n,p_1))$

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть $p=\dfrac{p_2-p_1}{1-p_1}\in[0,1]$. Выберем случайно граф $G_1$ из $G(n,p_1)$, затем $G$ из $G(n,p)$ и рассмотрим $G_1\cup G$. В нем с вероятностью $(1-p)(1-p_1)=(1-p_2)$ не будет фиксированного ребра, как и в графе $G_2$. Мы смогли представить выбор $G_2$ как объединение, один из которых — выбор графа $G(n,p_1)$, значит $P(G(n,p_2))\geqslant P(G(n,p_1))$

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Bollob́as-Thomason):

Любое нетривиальное монотонное свойство имеет пороговую функцию.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала найдем эту пороговую функцию. Зафиксируем $n$. Заметим, что функция $f(p)=P(G(n,p)\in\mathcal{A})$ непрерывна. На самом деле это многочлен, у которого степень оценивается как количество ребер в полном графе. Вероятность получить конкретный граф равна $p^\alpha\cdot(1-p)^\beta$, где $\alpha$ и $\beta$— количество присутствующих и отсутствующих ребер соответственно ($\alpha+\beta=\frac{n(n-1)}{2}$). И, чтобы получить $f(p)$, нужно просуммировать такие многочлены по всем графам из $\mathcal{A}$. $f(0)=0$, $f(1)=1$, так как свойство нетривиальное и монотонное (то есть пустой граф точно не удовлетворяет ему, тогда как полный должен удовлетворять). По теореме Больцано-Коши найдется такое $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$. Проделаем это для каждого $n$ и получим функцию $p_0(n)$. Она окажется пороговой для свойства $\mathcal{A}$. Докажем это. Пусть $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$. Выберем $m$ графов из $G(n,p_0)$ $G_1,\ldots,G_m$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$. В нем фиксированного ребра не будет тогда, когда ни в одном из $G_i$ нет ребра, то есть $P(\text{в }H\text{ нет ребра})=1-(1-p_0)^m$, то есть $H\in G(n,1-(1-p_0)^m)$. $P(G(n,p)\in\mathcal{A})>P(G(n,1-(1-p_0)^m)\in\mathcal{A})$. Для этого сравним $p$ и $1-(1-p_0)^m$: $p>m p_0\geqslant 1-(1-p_0)^m$. Первое неравенство верно с некоторого момента, так как $p\gg p_0$, второе — неравенство Бернулли (нужно $(-p_0)>-1$, что верно, и $m\notin[0,1]$; запомним это) $P(G(n,1-(1-p_0)^m)\in\mathcal{A})=P(H\in\mathcal{A})\geqslant 1-(1-P(G(n,p_0)\in\mathcal{A}))^m=1-1/2^m$. Про первое равенство уже поняли, про последнее — так выбрали $p_0$. Для доказательства неравенства достаточно понять, что если $H\notin\mathcal{A}$, то все $G_i\notin\mathcal{A}$ (действительно, ведь $P(H\in\mathcal{A})=1-P(H\notin\mathcal{A})$, перенесем, уберем по единице). А это верно в силу монотонности свойства $\mathcal{A}$. $1-1/2^m>1-\varepsilon$. Это равносильно $m\geqslant \log_2{1/\varepsilon}$. Так как $m$ ограничена только снизу, нам не составит труда подобрать такое, чтобы сработало неравенство Бернулли. Мы по $\varepsilon$ научились понимать, что $P(G(n,p_p)\in\mathcal{A})>1-\varepsilon$ верно с некоторого момента, что и значит $P(G(n,p)\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$ Теперь пусть $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$. Зафиксируем $\varepsilon$. Так как $1-\varepsilon<1$, то найдется такое натуральное $m$, что $(1-\varepsilon)^m<1/2$. Так как $p\ll p_0$, то с некоторого момента $p m<p_0$, тогда $p_0>m p\geqslant 1-(1-p)^m$. Выберем $m$ графов из $G(n,p)$ $G_1,\ldots,G_m$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$. Как мы уже знаем, $H\in G(n,1-(1-p)^m)$ $(1-P(G(n,p)\in\mathcal{A}))^m=P(\forall\,G_i\notin\mathcal{A})\geqslant P(H\notin\mathcal{A})\geqslant1/2$. Из нового только последнее неравенство, остальное уже доказано. Оно следует из $P(H\in\mathcal{A})=P(G(n,1-(1-p)^m)\in\mathcal{A})<P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})$ $1/2>(1-\varepsilon)^m$. Из-за выбора $m$. Тогда $(1-P(G(n,p)\in\mathcal{A}))^m>(1-\varepsilon)^m\Rightarrow P(G(n,p)\in\mathcal{A})<\varepsilon$ Мы по $\varepsilon$ научились понимать, что $P(G(n,p_p)\in\mathcal{A})<\varepsilon$ верно с некоторого момента, что и означает сходимость.

[math]\triangleleft[/math]