Список заданий по ДМ 2к 2021 весна

1. Формальный степенной ряд $\exp(t) = e^t$ определен как $e^t=1+\frac{1}{1!}t+\frac{1}{2!}t^2+\frac{1}{3!}t^3+\ldots+\frac{1}{n!}t^n+\ldots$. Логично, что $e^{-t}=1-\frac{1}{1!}t+\frac{1}{2!}t^2-\frac{1}{3!}t^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}t^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^t e^{-t}=1$.
2. Определим $\alpha \choose n$ для любого $\alpha$, как $\frac {\alpha (\alpha - 1) \ldots (\alpha - n + 1)}{n!}$. Найдите простое выражение для ${-n} \choose k$ для натуральных $n$ и $k$.
3. Формальный степенной ряд $\cos(t)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {t^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(t)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$.
4. Докажите, что $\sin(2t) = 2 \sin(t) \cos(t)$.
5. Пусть $B(t) = b_1 t + b_2 t^2 + b_3 t^3 + \ldots + b_n t^n + \ldots$, причем $b_1 \ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(t)$ и $C(t)$ таковы, что $A(B(t)) = t$, $B(C(t))=t$. Докажите, что $A(t)=C(t)$. Этот ряд называется обратным к $B(t)$, обозначается как $B^{-1}(t)$.
6. Будем называть нулем степенной ряд $0(t) = 0 + 0t + 0t^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(t) \ne 0(t)$, $B(t) \ne 0(t)$, то $A(t)B(t) \ne 0(t)$.
7. Докажите, что $(A(t)B(t))' = A'(t)B(t) + A(t)B'(t)$.
8. Докажите, что $\int(A'(t)B(t) + A(t)B'(t)) = A(t)B(t) - A(0)B(0)$.
9. Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
10. Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
11. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(t)=a_0 + a_1t + a_2t^2 + \ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}, \ldots$
12. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(t)=a_0 + a_1t + a_2t^2 + \ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
13. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + \ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
14. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(t)=a_0 + a_1t + a_2t^2 + \ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
15. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + \ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6, \ldots$
16. Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Восстановите рекуррентное соотношение для этих последовательностей. Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
17. Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
18. Последовательность $1\cdot 2^0, 2\cdot 2^1, 3\cdot 2^2, \ldots (n + 1)\cdot 2^n, \ldots$
19. Последовательность $1+1, 2+3, 4+9, \ldots, 2^n + 3^n, \ldots$
20. Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, f_k^2,\ldots$ ($f_i$ --- числа Фибоначчи).
21. Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
22. Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
23. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
24. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
25. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
26. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
27. Найдите производящую функцию для количества строк длины $n$ над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
28. Найдите производящую функцию для количества строк длины $n$ над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
29. Найдите производящую функцию для количества строк длины $n$ над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
30. Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
31. То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
32. Можно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
33. Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Вскройте архивы домашних заданий по комбинаторике за первый семестр и вспомните, каких.
34. Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-8a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
35. Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
36. Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
37. Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
38. Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^k n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^n P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
39. Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
40. Из производящей функции чисел Каталана $C(t) = \frac {1 - \sqrt{1-4t}} {2t}$ покажите, что $C_n = \frac {1}{n+1} {2n \choose n}$.
41. Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей. Указание: в этом и нескольких следующих заданиях напишите рекуррентное соотношение, похожее на соотношение для чисел Каталана.
42. Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
43. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
44. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
45. Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется производящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются рациональными, то и $C(t)$ рациональна.
46. Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-t}$ и $\frac{1}{1-2t}$.
47. Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2t}$ и $\frac{1}{1-3t}$.
48. Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3t-t^2}$ и $\frac{1}{1-2t}$.
49. Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3t)^2}$ и $\frac{1}{(1-2t)^2}$.
50. Найдите произведение Адамара $\frac{t}{1-3t+2t^2}$ и $\frac{2-4t}{1-4t+3t^2}$.