Участник:Feorge

Граница Хемминга

Для составления верхних и нижних оценок на параметры кодирования нам понадобится понятие шара.

Определение:

Рассмотрим [math] B^n [/math]. Булевым шаром в [math] B^n [/math] радиуса [math] r [/math] с центром [math] x [/math] называется множество [math] S(x,r) = \{ y : H(x,y) \leqslant r\} [/math].

Определение:

Обьёмом шара [math]S(x,r)[/math] в [math]B^n[/math] называется его мощность [math]|S(x,r)|[/math] и обозначается [math]V(n,r)[/math].

Утверждение:

Обьём шара не зависит от его центра.

[math]\triangleright[/math]

Заметим, что шар [math]S(x,r)[/math] всегда можно получить из другого шара [math]S(y,r)[/math] с помощью "параллельного переноса" на вектор [math]x\oplus y[/math], т.е. [math] S(x, r) = \{z : z = t \oplus x \oplus y, t \in S(y,r) \} [/math]. Покажем это. Необходимо доказать, что [math]H(x,z) = H(y,t)[/math] при [math]t = z \oplus (x \oplus y)[/math] и [math]y = x \oplus (x \oplus y)[/math]. [math]H(y,t) = |\{i : y[i] \neq t[i]\}| = |\{i : x[i] \oplus (x[i] \oplus y[i]) \neq z[i] + (x[i] + y[i]) \}| = |\{ i : x[i] \neq z[i]\}| = H(z,t) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Можно переформулировать свойство кодов, исправляющих [math]k[/math], ошибок в терминах булевых шаров.

Лемма:

Пусть [math]c:\Sigma \to B^n[/math] — код, исправляющий [math]k[/math] ошибок. Тогда для любых неравных [math]x,y\in \Sigma[/math] выполнено [math]S(c(x), k) \cap S(c(y), k) = \emptyset[/math].

Теорема (Граница Хемминга.):

Пусть [math]c: \Sigma \to B^n[/math] — код для [math]m[/math]-символьного алфавита, исправляющий [math]k[/math] ошибок. Тогда выполнено неравенство [math]mV(n,k) \leqslant 2^n[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Это прямое следствие предыдущей леммы. Всего есть [math]m = |\Sigma|[/math] попарно непересекающихся шаров. Их суммарный обьём равен [math]mV(n,k)[/math], и он не может превосходить общее число возможных веткоров [math]|B| = 2^n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Граница Хемминга даёт верхнюю оценку на скорость передачи сообщений в канале с ошибками. Прологарифмировав неравнество, получим [math]\frac{\log(m)}{n} \leqslant 1 - \frac{V(n, k)}{n}[/math]. Здесь [math]\frac{\log(m)}{n}[/math] это плотность кодирования (количество информации в одном символе алфавита на размер кода). Таким образом при кодировании с защитой от [math]k[/math] ошибок падает скорость передачи.