Отношение порядка
Версия от 19:41, 4 сентября 2022; Maintenance script (обсуждение | вклад) (rollbackEdits.php mass rollback)
Содержание
Определения
Определение: |
Бинарное отношение на множестве называется отношением частичного порядка (англ. partial order relation), если оно обладает следующими свойствами:
|
Множество
, на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.Отношение частичного порядка также называют нестрогим порядком (англ. non-strict order).
Определение: |
Бинарное отношение на множестве называется строгим отношением частичного порядка (англ. strict order relation), если оно обладает следующими свойствами:
|
Определение: |
Бинарное отношение на множестве называется отношением линейного порядка (англ. total order relation), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: либо , либо . |
Множество
, на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным (англ. total order).Определение: |
Бинарное отношение на множестве называется отношением полного порядка (англ. well-order relation), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: . |
Множество
, на котором введено отношение полного порядка, называется полностью упорядоченным (англ. well-order).Отношение нестрогого порядка обозначают символом
. Запись вида читают как « меньше либо равно ».Отношение строгого порядка обозначают символом
. Запись вида читают как « меньше ».Примеры
- На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
- Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.
- Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.
- Отношение «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, является отношением полного порядка.
- Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка.
- Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если человек A не младше человека B, а человек B не младше человека C, то человек A не младше человека C), антисимметрично (если человек A не младше человека B и человек B не младше человека A, то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка.
- Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: делится на , а делится на . Однако .
- Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел и равны, но сами числа разные.
См. также
Источники информации
- Новиков Ф. А. — Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. — СПБ.: Питер, 2009 — 50 с.
- Wikipedia — Total order
- Википедия — Отношение порядка
- Wikia — Отношение порядка