Опеределение
| Определение: |
| совокупность [math]F_k(x, y_1(x), \dots, y_n(x), y_1'(x), \dots, y_n'(x)) = 0 \: k = 1..m \: (1)[/math] называется системой ЛОДУ первого порядка. |
| Определение: |
| совокупность [math]y_1(x), \dots, y_n(x) \in C'((a,b))[/math] называется решением системы (1) [math]\Leftrightarrow[/math] эти функции обращают систему (1) в тождество. |
| Определение: |
| [math]\frac{dy_k}{dx} = f_k(x, y_1, \dots, y_n), \: k = 1..n[/math] — называется нормальной системой (системой в нормальной форме) ЛОДУ. |
Систему можно переписать в виде:
[math]\frac{d\bar{y}}{dx} = f(x, \bar{y})[/math], где
[math]y = \begin{pmatrix}
y_1(x)\\
\dots\\
y_n(x)
\end{pmatrix},\:\:
\frac{d\bar{y}}{dx} = \begin{pmatrix}
\frac{dy_1}{dx}\\
\dots\\
\frac{dy_n}{dx}
\end{pmatrix}, \:\:
f(x, \bar{y}) = \begin{pmatrix}
f(x, y_1 , \dots, y_n)\\
\dots\\
f(x, y_1, \dots, y_n)
\end{pmatrix}[/math]
Задача Коши
Требуется найти решение уравнения вида [math]\frac{d\bar{y}}{dx} = f(x, \bar{y})[/math], с начальными условиями: [math]\bar{y}(x_0) = \bar{y^0} =
\begin{pmatrix}
y^0_1
\\
\dots
\\
y^0_n
\end{pmatrix}[/math]
| Теорема (Пикар): |
[math]
\frac{d\bar{y}}{dx} = \bar{f}(x, \bar{y}) \:(6)
[/math], если [math]\left\{\begin{matrix}
\bar{f}(x, \bar{y}) \in C(V_r(x_0,\bar{y^0}))
\\
\frac{\partial \bar{f}(x, \bar{y})}{\partial \bar{y}} \in C(V_r(x_0,\bar{y^0}))
\end{matrix}\right. [/math], то существует единственное решение задачи Коши в шаре V |
| Определение: |
| общим решением системы (6) называется совокупность [math]y_k(x) = \phi_k(x, C_1, \dots, C_n) \: (7) \in C(D)[/math] удовлетворяющая следующим свойствам:
1) система (7) разрешима относительно констант Cn: [math]C_k=\psi_k(x, y_1, \dots, y_k) \: (8)[/math]
2) совокупность (7) — есть решение (6) при любом наборе констант [math]C_1, \dots, C_n[/math], определенных в (8), если [math](x,\bar{y}) \in D[/math]. |
Связь с уравнениями высшего порядка
рассмотрим [math]y^{(n)} = f(x, y, y', \dots, y^{(n - 1)})[/math]
пусть [math]y = y_1, y' = y_2, \dots, y^{(n - 1)} = y_n[/math],
тогда получаем систему:
[math]
\left\{\begin{matrix}
y_1' = y_2
\\
y_2' = y_3
\\
\dots
\\
y_{n - 1}' = y_n
\\
y_n' = f(x, y_1, \dots, y_n)
\end{matrix}\right.
[/math]
