Идеальное хеширование

Двойное хеширование (double hashing) - один из методов закрытого хеширования. Перебор ячеек хеш-таблицы, возникающий при двойном хешировании, обладает свойствами, присущими равномерному хешированию. При двойном хешировании хеш-функция [math] h [/math] имеет следующий вид:

[math] h(k,i) = (h_1(k) + i\cdot h_2(k)) \; mod \; m [/math]

Вставка при двойном хешировании

где [math] h_1 [/math] и [math] h_2 [/math] - вспомогательные хеш-функции, [math] m [/math] - размер хеш-таблицы. Иными словами, последовательность индексов исследуемых ячеек при работе с ключом [math] k [/math] представляет собой арифметическую прогрессию (по модулю [math] m [/math]) с первым членом [math] h_1(k) [/math] и шагом [math] h_2(k) [/math]. Следовательно, в данном случае последовательность исследования зависит от ключа k по двум параметрам - выбор начальной исследуемой ячейки и расстояние между двумя исследуемыми ячейками, так как оба параметра зависят от значения ключа.

Пример вставки элемента при двойном хешировании приведен на рисунке справа.

Показана хеш-таблица размером 13 ячеек, в которой используются вспомогательные функции:

[math] h_1(k) = k \; mod \; 13 [/math]

[math] h_2(k) = 1 + k \; mod \; 11 [/math]

Мы хотим вставить ключ 14. Изначально [math] i = 0 [/math]. Тогда [math] h(14,0) = (h_1(14) + 0\cdot h_2(14)) \; mod \; 13 = 1 [/math]. Но ячейка с индексом 1 занята, поэтому увеличиваем [math] i [/math] на 1 и пересчитываем значение хеш-функции. Делаем так, пока не дойдем до пустой ячейки. При [math] i = 2 [/math] получаем [math] h(14,2) = (h_1(14) + 2\cdot h_2(14)) \; mod \; 13 = 9 [/math]. Ячейка с номером 9 свободна, значит записываем туда наш ключ.

Для того, чтобы последовательность исследования могла охватить всю таблицу, значение [math] h_2 [/math] должно быть взаимно простым с размером таблицы. Есть два удобных способа это сделать. Первый состоит в том, что в качестве размера таблицы используется простое число, а [math] h_2 [/math] возвращает натуральные числа, меньшие [math] m [/math]. Второй - размер таблицы является степенью двойки, а [math] h_2 [/math] возвращает нечетные значения.

Двойное хеширование превосходит другие в смысле количества последовательностей обращений к ячейкам массива. Это связано с тем, что при различных [math] k [/math] пара [math] (h_1(k),h_2(k)) [/math] дает различные последовательности ячеек, которые надо исследовать.

Литература

• Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы. Построение и анализ — Вильямс, 2010. - 1296с. — ISBN 978-5-8459-0857-4, 0-07-013151-1.