Лемма о паросочетании в графе замен

Лемма (о паросочетании в графе замен):

Пусть [math]M = \langle X,I \rangle [/math] — матроид. Множества [math]A, B \in I[/math], причем [math]|A| = |B|[/math]. Тогда двудольный граф [math]G_M(A) = \{ (x, y) | x \in A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \}[/math] содержит полное паросочетание на [math]A \oplus B[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Индукция по [math]|A \oplus B|[/math]. 1)База индукции очевидна. Рассматриваем случай, когда [math]A \oplus B = \emptyset [/math]. 2)Покажем, что справедлив и индукционный переход. Рассмотрим матроид [math]M_1 = \langle X, \{ K | K \in I, |K| \leq |A| \} \rangle[/math]. Множества [math]A, B \in I[/math] и [math]|A| = |B|[/math], а значит они являются базами для матроида [math]M_1[/math]. Тогда по теореме о базах [math]\forall x \in A [/math] \ [math]B: \exists y \in B [/math] \ [math]A : A[/math] \ [math]x \cup y \in I[/math], поэтому [math](x, y) \in G_M(A)[/math]. Множества [math]A [/math] \ [math] x [/math] и [math]B[/math] \ [math]y[/math] являются независимыми как подмножества независимых и их [math]\oplus[/math] имеет меньшую мощность, чем [math]|A \oplus B|[/math]. Тогда по предположению индукции на их [math]\oplus[/math] есть полное паросочетание, которое вместе с [math](x, y)[/math] составляет полное паросочетание на [math]A \oplus B[/math], а значит индукционный переход справедлив.

[math]\triangleleft[/math]