Примеры матроидов: графовый матроид

Определение:

Пусть [math]G = (V, E)[/math] - неориентированный граф. Тогда [math]M = (E, I_G)[/math], где [math]I_G[/math] состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют матричным матроидом.

Лемма:

Матричный матроид является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: 1) [math]\varnothing \in I_G[/math] Пустое множество является ациклическим, а значит входит в [math]I_G[/math]. 2) [math]A \subset B, B \in I_G \Rightarrow A \in I_G[/math] Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в [math]I_G[/math]. 3) [math]\mid A \mid \lt \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I_G[/math] В графе [math]G_A = (V, A)[/math] как минимум две компоненты связанности, иначе [math]G_A[/math] являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью. Допустим в [math]B[/math] не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из [math]G_A[/math], значит любая компонента связанности из [math]G_B[/math] целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из [math]G_A[/math]. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из [math]G_A[/math], у неё [math]k[/math] вершин и [math]k - 1[/math] рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности [math]P_i[/math] из [math]G_B[/math] вершинно-входящие в [math]Q[/math], пусть их [math]m[/math] штук, тогда суммарное кол-во рёбер из равно [math]k - m[/math] что не превосходит [math]k - 1[/math] (кол-во рёбер в [math]Q[/math]). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из [math]G_A[/math] и получим [math]\mid A \mid \gt \mid B \mid[/math] что протеворечит условию. Значит предположение не верно и в [math]B[/math] существует искомое ребро [math]x[/math] из разных компонент связанности [math]G_B[/math].

[math]\triangleleft[/math]