Определение функционального ряда

Определения

Определение:

На [math]E \subset \mathbb{R}[/math] задана последовательность функций [math]f_1, f_2, \ldots f_n \ldots[/math]. Тогда говорят, что имеется фукциональная последовательность.

[math]\forall x \in E[/math] определена числовая последовательность [math]f_1(x), f_2(x), \ldots[/math], поэтому можно говорить о пределе соответствующей числовой последовательности. Но предел может существовать не на всем [math]E[/math].

Определение:

Область сходимости функциональной последовательности [math]D \subset E : \{x | \forall x \in D \ f_1(x), f_2(x), \ldots[/math] — сходится [math]\}[/math]

Определение:

[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math] — функциональный ряд.

Определение:

[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n(x)[/math], [math]x \in D[/math] — сумма числового ряда.

Из определения суммы функционального ряда видно, что это предел специальной последовательности — [math]s_n[/math]. Отсюда, исследование ряда на сходимость — исследование на сходимость последовательности сумм.

В тех местах, где это удобно, исследуются функциональные последовательности, а там, где нет, числовые ряды.

Пример

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n[/math]

[math]s_n = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}[/math] Тогда, при [math]n \to \infty[/math], [math]s_n \to \begin{cases} \frac1{1 - x}, & |x| \lt 1 \\ \infty, & |x| \geq 1 \\ \end{cases}[/math]

[math]E = R[/math], [math]D = (-1, 1)[/math]

На [math]D[/math], [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n = \frac1{1 - x}[/math]

1. Равномерная сходимость функционального ряда