Поточечная сходимость
То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция — закон
соответствия, который каждому [math]x \in E[/math] сопоставляет некоторое число. При этом, все [math]x[/math] фигурировали
изолированно.
Пусть на [math]E[/math] [math]f_n[/math] обладает свойством [math]P[/math](например, непрерывность на [math]E[/math]). И пусть для любого [math] x \in E [/math] есть предел соответствующей числовой последовательности. Возникает вопрос: "Будет ли [math]f = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n[/math] обладать свойством [math]P[/math]?"
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для [math] f [/math]
свойство [math]P[/math] может отсутствовать.
[math]f_n = \begin{cases}
-nx + 1, & x \in [0; \frac1n] \\
0, & x \in (\frac1n; 1]\\
\end{cases}[/math]
Все [math]f_n[/math] непрерывны на [math][0; 1][/math]. [math]f_n(0) = 1 \to 1[/math], [math]f(0) = 1[/math].
[math]0 \lt x \leq 1[/math]: [math]\frac1n \to 0[/math]. Тогда, начиная с некоторого [math]N[/math], все [math]\frac1N \lt x \Rightarrow f_n(x) = 0[/math]
Тогда [math]f[/math] будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.
Равномерная сходимость
Возникает вопрос: "Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе [math]P[/math] сохранилось?"
Классическое требование: равномерная сходимость.
| Определение: |
| [math]f_1, f_2, \ldots[/math] равномерно сходится к [math]f(x)[/math], если
[math]\forall \varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]
Пишут, что [math]f_n \rightrightarrows f[/math]. |
| Определение: |
| Пусть на [math]E[/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math]. Тогда он равномерно сходится к
[math]f = \sum f_n[/math], если
[math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math] |
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как их наиболее удобно использовать в
математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.
Критерий Коши равномерной сходимости
| Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости): |
Ряд равномерно сходится на [math]E[/math] [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\Longrightarrow[/math] Пусть ряд равномерно сходится.
[math]\sum\limits_{k = n}^m f_k = S_m - S_{n - 1}[/math]
[math]\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k \right| = |(S_m - S) + (S - S_{n - 1})|[/math], где [math]S[/math] — сумма ряда. Тогда
[math]\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq |S_m - S| + |S_{n - 1} - S|[/math]
По определению равномерной сходимости, [math]\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall p \gt N\ \forall x \in E : |S_p(x) - S(x)| \lt \varepsilon[/math].
[math]m, n - 1 \gt N [/math]
В силу предыдущего неравенства, [math]\forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq 2\varepsilon[/math], то есть,
выполняется условие критерия Коши.
[math]\Longleftarrow[/math] Пусть выполняется условие критерия Коши.
[math]\forall x \in E[/math] для [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x)[/math] выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов.
Значит, этот ряд сходится. На всем [math]E[/math] определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
По условию критерия Коши, [math]\forall m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right| \leq \varepsilon[/math]
Как и в первой половине доказательства,
[math]|S_m(x) - S_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon[/math], но [math]S_p(x) \to S(x)[/math]. В неравенстве с [math]\varepsilon[/math] [math]X[/math]
можно подставлять любой фиксированный [math]x[/math]. Устремим [math]m \to \infty[/math]: [math]\forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - S(x)| \leq \varepsilon[/math]
Значит, определение равномерной сходимости проверено. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Признак Вейерштрасса
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)
Можно рассматривать [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty |f_n|[/math] и при этом сохраняется терминология числовых рядов,
связанная с абсолютной и условной сходимостью.
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
| Теорема (Вейерштрасс): |
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math], [math]\forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n[/math], [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n[/math] — сходится.
Тогда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math] равномерно сходится на [math]E[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Применим критерий Коши:
[math]\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right|[/math] [math]\leq \sum\limits_{k = n}^m |f_k(x)|[/math] [math]\leq \sum\limits_{k = n}^m a_k[/math]
[math]\sum\limits_{k = n}^m a_k \lt +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m \geq n \gt N : \sum\limits_{k = n}^m a_k \lt \varepsilon[/math]
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно [math]\forall x[/math],
[math]\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math]. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится. |
| [math]\triangleleft[/math] |
>>
