Обсуждение:Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах

...все корректно, [math]\varphi' = \varphi[/math].

• ШТО --Мейнстер Д. 21:24, 9 июня 2011 (UTC)
  • Лол. Если что, я заменил на то, что у меня в конспекте. Похоже на правду.

Производная Фреше

Как-то плохо согласуются следующие вещи:

Определение:

[math] \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| [/math]

где, внимание, утверждается, что:

[math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)[/math] — производная Фреше отображения [math]\mathcal{F}[/math] в точке [math]x[/math]

и далее утверждение:

При [math] X = Y = \mathbb{R} [/math] получаем определение дифференциала и производной функции одной переменной.

Каким образом?? Может быть я чего-то не понимаю. Не путаются ли понятия производной и приращения(дифференциала)?

• Нет, не путаются. Производная - функция, отображение, закон. В данном случае, оператор, линейный по [math] \Delta x [/math] и произвольно зависящий от [math] x [/math]. Дифференциал - элемент пространства образов, объект. Здесь дифференциалом является результат применения оператора к приращению. --Мейнстер Д. 05:58, 13 июня 2011 (UTC)

Потом это чудо:

[math] \varphi(x + \Delta x) - \varphi(x) = A(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| x \| [/math]
[math] \varphi(x) + \varphi(\Delta x) - \varphi(x) = \varphi(\Delta x) = A(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| x \| [/math]
При [math] \Delta x \to 0 [/math] , получаем [math] \varphi(\Delta x) = A(\Delta x) [/math], где A - производная, то есть [math] \varphi' = \varphi [/math]

я не про то, что тут небольшое не соответствие определению. Когда мы устремляем [math] \Delta x \to 0 [/math], как мы делаем вывод, что [math] \varphi' = \varphi [/math] ? В лучшем случае это следствие верно только для одной точки: для нуля. (И действительно, раз это два линейых оператора, то в нуле они равны нулю).

Кошмар в том, что у всех в конспектах одно и то же. У меня от этого когнитивный диссонанс. Он обоснован?

• Да, хрень какая-то, действительно. А как тогда это доказывается? --Дмитрий Герасимов 01:02, 13 июня 2011 (UTC)
  • Не знаю, к сожалению. На вскидку, мне непонятно, где вообще требуется в доказательстве равенство [math] \varphi' = \varphi [/math]. А может там требуется лишь [math] \| \varphi'\| = \|\varphi\| [/math]? --Dmitriy D. 01:16, 13 июня 2011 (UTC)

Dmitriy D. 00:41, 13 июня 2011 (UTC)

С [math]\varphi' = \varphi[/math] действительно какое-то скользкое место, более того, моя интуиция подсказывает, что в этом случае [math]\varphi[/math] - что-то, похожее на экспоненту, а мы, когда доказывали существование соответствующего линейного оператора, брали за основу линейное скалярное произведение. Возможно, действительно имеется в виду [math] \| \varphi'\| = \|\varphi\| [/math]. --Мейнстер Д. 05:58, 13 июня 2011 (UTC)

И, да, пожалуйста, подписывайтесь. Мы же тут не капчу двачуем, а занимаемся более-менее серьезным делом, которое нужно всем или почти всем. --Мейнстер Д. 05:58, 13 июня 2011 (UTC)